"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г. и др. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г.
Иррациональное неравенство содержит переменную под знаком корня. Чтобы решить его, сначала находят область допустимых значений, затем учитывают знак правой части и осторожно возводят обе части в квадрат. Главная цель — заменить исходное неравенство равносильной системой или совокупностью условий, не потеряв решения и не добавив лишних. После преобразований результат проверяют с учётом ОДЗ и границ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Иррациональное неравенство — неравенство, в котором переменная содержится под знаком корня или в другом иррациональном выражении. Например, √(2x − 1) > 3. Для его решения недостаточно обычных преобразований: нужно учитывать смысл корня.
Область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменной, при которых все выражения с корнями имеют смысл. Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. ОДЗ сразу отсекает невозможные значения и обязательно учитывается в ответе.
Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одно и то же множество решений. Если при преобразовании получено равносильное неравенство, можно решать уже его. Такое преобразование не меняет правильный ответ.
Равносильная система — система условий, задающая то же множество решений, что и исходное неравенство. Решением системы являются значения, которые удовлетворяют всем её условиям одновременно. Системы особенно часто появляются после учёта ОДЗ и знака правой части.
Решение начинают с ОДЗ, потому что квадратный корень определён только при неотрицательном подкоренном выражении. Если не записать это условие, можно включить в ответ значения, для которых исходное выражение вообще не существует. ОДЗ затем пересекают с результатами всех последующих преобразований.
При сравнении √f(x) с g(x) нужно знать знак g(x), поскольку левая часть всегда неотрицательна. Если g(x) отрицательно, сравнение иногда решается сразу: например, √f(x) > g(x) верно на всей ОДЗ. Но условие √f(x) < g(x) при отрицательной правой части невозможно.
Возведение в квадрат сохраняет равносильность для двух неотрицательных частей: тогда a < b равносильно a² < b², а a ≤ b — a² ≤ b². Если одна часть может быть отрицательной, квадратирование меняет смысл сравнения: числа −5 и 2 после возведения в квадрат дают 25 и 4. Поэтому перед квадратированием изолированного корня проверяют знак второй части.
Для √f(x) < g(x) нужны условия f(x) ≥ 0, g(x) > 0 и f(x) < g²(x). Для √f(x) ≤ g(x) правая часть может быть нулём, поэтому получаем f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 и f(x) ≤ g²(x). В случаях со знаками > и ≥ появляется совокупность: при отрицательной правой части сравнение выполняется автоматически, а при неотрицательной можно переходить к квадратам.
После преобразований проверяют все ограничения, потому что квадратирование могло быть разрешено лишь на части ОДЗ. Отдельно рассматривают точки, где выражение справа равно нулю, и точки, превращающие строгое неравенство в равенство. Такой контроль помогает не включить лишние интервалы и не исключить граничные значения.
| Вид неравенства | Условия на правую часть | Условия на подкоренное выражение | Равносильная система или совокупность |
|---|---|---|---|
| √f(x) < g(x) | g(x) > 0 | f(x) ≥ 0 | f(x) ≥ 0, g(x) > 0, f(x) < g²(x) |
| √f(x) ≤ g(x) | g(x) ≥ 0 | f(x) ≥ 0 | f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0, f(x) ≤ g²(x) |
| √f(x) > g(x) | g(x) < 0 или g(x) ≥ 0 | f(x) ≥ 0 | (f(x) ≥ 0, g(x) < 0) или (f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0, f(x) > g²(x)) |
| √f(x) ≥ g(x) | g(x) ≤ 0 или g(x) > 0 | f(x) ≥ 0 | (f(x) ≥ 0, g(x) ≤ 0) или (f(x) ≥ 0, g(x) > 0, f(x) ≥ g²(x)) |
Систему читают как одновременное выполнение всех условий в одной скобке. Союз «или» означает совокупность: достаточно выполнения условий хотя бы в одной ветви. Если правая часть уже известна как неотрицательная, можно сразу использовать соответствующую строку без разбора лишних случаев.
Границы зависят от знака неравенства: при ≤ и ≥ равенство допускается, а при < и > — нет. Но даже допустимую границу нужно проверить по ОДЗ и исходной записи.
Ответ: x ∈ (5; +∞).
Ответ: x ∈ [2; +∞).
Ответ: x ∈ [41/16; +∞).
Квадратирование без проверки знаков. Ученик видит корень и сразу возводит обе части в квадрат, хотя правая часть может быть отрицательной. Перед действием нужно определить знаки и ограничить область, где квадратирование равносильно.
Игнорирование ОДЗ. Иногда решают полученное квадратное неравенство и записывают весь найденный промежуток. Проверка каждого промежутка условиями f(x) ≥ 0 отбрасывает значения, при которых корень не существует.
Замена неравенства одной формулой без случаев. Формула для √f(x) ≤ g(x) не подходит автоматически для знаков > или ≥. Сначала определяют, что происходит при отрицательной и неотрицательной правой части, а затем выбирают систему или совокупность.
Неверные границы. При переходе от ≥ к > точку равенства нужно исключить, а при ≥ или ≤ — проверить возможность её включения. Подстановка граничной точки в исходное неравенство быстро выявляет ошибку.
До этой темы нужны свойства квадратного корня: область определения, неотрицательность и правила преобразования. Также понадобятся знания о знаках выражений, системах и совокупностях неравенств.
После возведения в квадрат часто получается квадратное неравенство. Его удобно решать методом интервалов, отмечая нули многочлена и выбирая нужные промежутки.
Иррациональные неравенства связаны с иррациональными уравнениями, системами неравенств и задачами, где есть ограничения на переменную. Те же правила ОДЗ и контроля знаков помогают проверять решения в этих темах.
Можно ли сразу возвести иррациональное неравенство в квадрат?
Нет, сначала нужно проверить знаки обеих частей. Возведение в квадрат равносильно только тогда, когда сравниваются неотрицательные выражения; иначе можно получить лишние решения или потерять настоящие.
Зачем отдельно рассматривать знак правой части?
Квадратный корень не бывает отрицательным. Поэтому при отрицательной правой части неравенства √f(x) > g(x) оно может выполняться автоматически, а неравенство √f(x) < g(x) невозможно.
Как правильно найти область допустимых значений?
Для каждого квадратного корня записывают условие: подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Затем решают полученную систему условий и пересекают её решения.
Почему при решении появляются лишние корни или интервалы?
Обычно причина — возведение в квадрат без контроля знаков или забытая ОДЗ. Проверка найденных значений в исходном неравенстве показывает, какие из них действительно подходят.
Нужно ли проверять ответ после решения системы условий?
Да, особенно если квадратирование выполнялось несколько раз. Нужно проверить ОДЗ, ограничения на знаки и граничные точки в исходном неравенстве.
§ 6. Иррациональные неравенства
