§ 10*. Иррациональные неравенства

Определения и обозначения

Иррациональное неравенство — неравенство, в котором переменная содержится под знаком корня или имеет дробную степень. Например, √(x + 1) ≤ 3 — иррациональное неравенство. Чтобы его решить, нужно определить, при каких значениях переменной сравниваемые выражения имеют смысл и какое из них больше.

Область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменной, при которых все выражения с корнями имеют смысл. Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным: например, для √(x − 2) необходимо x − 2 ≥ 0. ОДЗ ограничивает возможные ответы и помогает не включить в них значения, при которых исходное выражение не определено.

Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одно и то же множество решений. При решении важно заменять исходное неравенство равносильным, а не просто похожим: иначе можно потерять подходящие значения или получить лишние. Проверка условий, при которых выполнено преобразование, помогает сохранить именно равносильность.

Система неравенств — совокупность условий, которые должны выполняться одновременно. Её решения находят пересечением множеств решений каждого условия. Такие системы возникают, когда для преобразования корня нужно одновременно учесть ОДЗ и знак выражения, стоящего справа.

Как это устроено

Сначала находят ОДЗ, потому что квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах не определён. Поэтому решение исходного неравенства вообще может включать только значения, при которых каждый подкоренный квадратный корень неотрицателен. Если записать это ограничение заранее, дальнейшие преобразования не смогут случайно вернуть недопустимые значения. Для нескольких корней ОДЗ содержит отдельное условие для каждого подкоренного выражения.

Способ решения сравнения с корнем зависит от знака правой части: квадратный корень не бывает отрицательным. Если справа отрицательное число, то неравенство √f(x) > g(x) верно для каждого x из ОДЗ, поскольку неотрицательное число больше отрицательного. Если же правая часть положительна, сравнение требует дополнительной проверки величины корня. Поэтому перед преобразованием полезно определить знак g(x), а при меняющемся знаке разделить решение на случаи.

Возведение обеих частей в квадрат сохраняет равносильность сравнения, когда обе части неотрицательны: на неотрицательных числах квадрат сохраняет порядок. Если правая часть отрицательна, квадрат может изменить результат сравнения: например, 1 > −2, но 1² < (−2)². Значит, после возведения в квадрат исходный знак уже не обязательно можно восстановить. Сначала нужно проверить знаки частей и отдельно разобрать случаи, в которых они различаются.

Неравенства √f(x) > g(x) и √f(x) ≥ g(x) при отрицательной правой части сводятся к ОДЗ; при неотрицательной — к сравнению f(x) с g²(x). Для строгого знака при g = 0 квадратное условие получается f(x) > 0, а для нестрогого — f(x) ≥ 0. Неравенства √f(x) < g(x) и √f(x) ≤ g(x) требуют, чтобы правая часть была соответственно положительной или неотрицательной. Затем сравнивают f(x) и g²(x), не забывая ОДЗ: она нужна, чтобы выражение с корнем было определено.

Если корней несколько, сначала изолируют один из них, перенося остальные выражения в другую часть. Знак этой части нужно проверить: из неотрицательности корня следует, например, что он не может быть меньше отрицательного числа. Только после установления подходящих знаков можно возвести части в квадрат и получить новое условие. Если остаётся корень, действия повторяют, каждый раз сохраняя ограничения, добавленные на предыдущем шаге.

Сведение основных видов иррациональных неравенств

В таблице ОДЗ означает условие f(x) ≥ 0; если в исходном выражении есть и другие корни, добавьте ограничения для них. В первых двух строках при отрицательной правой части сравнение выполняется на всей ОДЗ, а при неотрицательной требуется ещё сравнить подкоренное выражение с квадратом правой части. Составьте систему условий для нужного случая и найдите их общие решения.

Разбор задач

1. Неравенство √(2x − 1) > 3

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а обе сравниваемые части уже неотрицательны. Поэтому возведение в квадрат здесь допустимо и не меняет множество решений. После решения полученного линейного условия пересечём результат с ОДЗ.

1. ОДЗ: 2x − 1 ≥ 0, значит, x ≥ ½.
2. Возводим обе части в квадрат: 2x − 1 > 9, откуда x > 5.
3. Пересекаем x > 5 с ОДЗ x ≥ ½; условие ОДЗ выполнено для всех найденных значений.

Ответ: x > 5. Строгое неравенство сохраняется и после возведения в квадрат, поскольку обе его части неотрицательны. Проверка, например, при x = 6 даёт √11 > 3.

2. Неравенство √(x + 2) ≤ x

Корень неотрицателен, поэтому исходное сравнение возможно только при x ≥ 0, хотя ОДЗ корня даёт более слабое условие x ≥ −2. Это дополнительное требование позволяет возвести обе части в квадрат. Затем пересечём полученный результат с обоими ограничениями.

1. ОДЗ: x + 2 ≥ 0, то есть x ≥ −2.
2. Так как √(x + 2) ≥ 0, из √(x + 2) ≤ x следует x ≥ 0.
3. При x ≥ 0 возводим обе части в квадрат: x + 2 ≤ x², или x² − x − 2 ≥ 0. Разложение даёт (x − 2)(x + 1) ≥ 0, поэтому x ≤ −1 или x ≥ 2.
4. Пересекаем с x ≥ 0 и ОДЗ: остаётся x ≥ 2.

Ответ: x ≥ 2. Например, при x = 2 обе части равны 2, значит, граница включается. Значения от 0 до 2 не подходят, поскольку квадратное неравенство там не выполняется.

3. Неравенство √(x + 1) + √(x − 2) ≤ 3

Оба корня должны быть определены, поэтому x ≥ 2. Изолируем √(x + 1): правая часть 3 − √(x − 2) обязана быть неотрицательной, иначе сравнение невозможно. После первого возведения в квадрат останется корень; его знак тоже проверим перед следующим возведением.

1. ОДЗ: x + 1 ≥ 0 и x − 2 ≥ 0, то есть x ≥ 2.
2. Переносим второй корень: √(x + 1) ≤ 3 − √(x − 2). Требуем 3 − √(x − 2) ≥ 0, откуда x ≤ 11.
3. При неотрицательных частях возводим в квадрат: x + 1 ≤ 11 + x − 6√(x − 2). Получаем √(x − 2) ≤ 1.
4. Обе части последнего сравнения неотрицательны, поэтому возводим в квадрат ещё раз: x − 2 ≤ 1, то есть x ≤ 3. Пересечение с x ≥ 2 и x ≤ 11 даёт 2 ≤ x ≤ 3.

Ответ: x ∈ [2; 3]. Все преобразования выполнены при проверенных знаках, а найденный промежуток входит в ОДЗ. Например, при x = 3 сумма корней равна 2 + 1 = 3, поэтому правая граница подходит.

Типичные ошибки

Возведение в квадрат без проверки знаков. Ошибка возникает, когда правило «возвести обе части в квадрат» применяют к любому неравенству, не учитывая отрицательную правую часть. В таком случае квадрат может дать более широкое множество решений. Перед действием проверьте, что обе части неотрицательны, и отдельно разберите случаи с отрицательными значениями.

Игнорирование ОДЗ. После преобразований могут получиться числа, при которых исходный корень не определён. Обычно ОДЗ пропускают, потому что сосредотачиваются на алгебраических вычислениях. Проверяйте подкоренные выражения в исходном неравенстве и пересекайте с ОДЗ каждое найденное множество.

Потеря условия при изолировании корня. После переноса других слагаемых правая часть может оказаться отрицательной, хотя слева стоит неотрицательный корень. Если продолжить возведение в квадрат без проверки, появятся неподходящие решения. Запишите требование, что правая часть должна быть неотрицательной, и проверьте его до возведения в квадрат.

Механическое возведение в квадрат несколько раз. При каждом таком шаге условия на знаки могут измениться, а лишние решения — сохраниться в преобразованном неравенстве. Это часто происходит, когда повторяют действие, не разбирая заново новую пару частей. Перед каждым возведением проверяйте знаки, сохраняйте новые ограничения и в конце подставьте кандидатов в исходное неравенство.

Связь с другими темами

Для решения нужны свойства квадратного корня, квадратные неравенства, системы неравенств и метод интервалов: с их помощью задают ОДЗ и находят пересечение условий. Навык пригодится при исследовании функций, содержащих корни, а также при решении уравнений и неравенств с параметрами. Геометрически сравнение выражений можно связать с графиками функций: решение показывает, где график одного выражения расположен выше или ниже другого. Преобразования при этом опираются на сохранение равносильности.

Что запомнить

• Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным.
• Квадратный корень всегда неотрицателен.
• Перед возведением в квадрат сравните знаки обеих частей.
• Записывайте ОДЗ до выполнения основных преобразований.
• После каждого преобразования сохраняйте дополнительные условия или учитывайте их отдельно.
• Проверяйте решение подстановкой в исходное неравенство.
• Записывайте ответ с учётом ОДЗ и всех ограничений.