"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная находится под знаком корня. Чтобы решить его, нужно определить допустимые значения переменной, убрать радикалы подходящими преобразованиями и проверить полученные ответы. Особенно осторожно действуют с корнями чётной степени: возведение обеих частей в квадрат может добавить посторонние корни. Если корней несколько, их выделяют и устраняют по одному.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Иррациональное уравнение — уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня. Например, в уравнении √(x + 1) = 3 переменная x находится под квадратным корнем. Это определение помогает сразу заметить, что при решении нужно учитывать, допустимо ли выражение под корнем.
Корень чётной степени — неотрицательное число, возведение которого в эту степень даёт подкоренное выражение; само подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Так, √9 = 3, поскольку 3² = 9, а √(−1) в действительных числах не определён. Это правило нужно, чтобы находить область допустимых значений уравнения.
Посторонний корень — значение переменной, полученное при преобразованиях, но не удовлетворяющее исходному уравнению. Например, оно может появиться после возведения обеих частей в квадрат. Понятие нужно, чтобы не принять все решения преобразованного уравнения за ответы исходного.
Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. Если преобразование равносильно, оно не добавляет и не теряет решений; например, можно прибавить одно и то же число к обеим частям. Это понятие помогает оценивать, когда результат преобразования можно считать окончательным, а когда нужна проверка.
Перед решением уравнения с корнем чётной степени находят ОДЗ — область допустимых значений переменной. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, потому что квадрат чёткого корня не может дать отрицательное число. Например, для √(x − 2) требуется x − 2 ≥ 0, то есть x ≥ 2. Если значение не входит в ОДЗ, соответствующий корень вообще не определён и не может быть ответом.
В уравнении √f(x) = g(x) одной проверки f(x) ≥ 0 недостаточно. Левая часть неотрицательна, поэтому равная ей правая часть тоже должна быть неотрицательной: g(x) ≥ 0. При соблюдении обоих условий можно возвести стороны в квадрат и получить f(x) = g²(x). Эти условия позволяют перейти к уравнению без корня, не потеряв равносильность.
Возведение обеих частей в чётную степень может привести к посторонним корням, потому что у чисел с разными знаками бывают одинаковые квадраты: 2² = (−2)². Например, равенство √f(x) = g(x) после возведения в квадрат превращается в f(x) = g²(x), но новое равенство само по себе не гарантирует g(x) ≥ 0. Поэтому найденные значения подставляют в исходное уравнение и оставляют только те, которые ему удовлетворяют.
Для корня нечётной степени ограничение на знак подкоренного выражения не требуется: например, ∛(−8) = −2. Возведение обеих частей в нечётную степень сохраняет равенство в обоих направлениях, потому что отрицательные и положительные значения остаются различимыми. Так, уравнение ∛f(x) = g(x) равносильно f(x) = g³(x), если выражения определены. Это отличает нечётный корень от квадратного, хотя проверка результата остаётся полезной.
Если в уравнении несколько корней, обычно сначала изолируют один из них, перенося остальные слагаемые в другую часть. Затем обе части возводят в квадрат, раскрывая скобки внимательно: при сумме радикалов появляется дополнительное слагаемое. Если корень остался, его снова выделяют и повторяют преобразование. Каждый такой шаг может усложнить уравнение или добавить кандидатов, поэтому в конце все значения проверяют в исходной записи.
Таблица помогает выбрать первое преобразование и не забыть условия, связанные с корнями. Сначала определи вид уравнения, затем запиши ОДЗ и необходимые ограничения на знаки. После решения проверь каждый кандидат именно в исходном уравнении.
| Вид уравнения | Условия | Основной прием | Что проверить |
|---|---|---|---|
| √f(x) = g(x) | f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 | Возвести обе части в квадрат | Подставить корни в исходное уравнение |
| √f(x) = √g(x) | f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 | Приравнять подкоренные выражения | Проверить допустимость найденных значений |
| Уравнение с корнем нечётной степени | Ограничения на знак подкоренного выражения не нужны | Возвести обе части в соответствующую степень | Проверить полученные значения |
| Уравнение с несколькими корнями | Учитывать ОДЗ каждого корня | Выделять корень и преобразовывать последовательно | Проверить все кандидаты в исходном уравнении |
Решение. Сначала проверим, при каких x существует квадратный корень. Затем устраним радикал и убедимся, что результат подходит исходной записи.
Ответ: 8. Проверка нужна, даже если вычисления просты: она подтверждает, что значение не только допустимо, но и удовлетворяет исходному равенству.
Решение. Правая часть должна быть неотрицательной, ведь она равна квадратному корню. Это условие дополняет ОДЗ и помогает не включить в ответ значение, которое появилось бы после возведения в квадрат, но не могло бы быть исходным.
Ответ: 3. Отрицательный корень квадратного уравнения исключается ещё до подстановки, так как нарушает условие на правую часть.
Решение. Здесь два корня, поэтому сначала найдём общую ОДЗ, а затем выделим один радикал. После первого возведения в квадрат останется второй корень; его нужно изолировать и снова возвести обе части в квадрат.
Ответ: 3. На каждом шаге сохраняем скобки и после решения сверяем результат с исходным уравнением, а не только с полученным уравнением без радикалов.
Возводят обе части в квадрат, не проверив знаки. Так делают, потому что кажется: одинаковые квадраты означают одинаковые исходные выражения, хотя равные квадраты могут быть у противоположных чисел. Перед действием проверь, что обе части неотрицательны, если это нужно для равносильности. После решения подставь кандидаты в исходное равенство.
Не учитывают ОДЗ и получают значения, при которых подкоренное выражение отрицательно. Такая ошибка возникает, когда начинают преобразования сразу, не записав условия существования корней. Для каждого корня чётной степени составь неравенство и пересечь найденные условия. Затем убедись, что каждый ответ удовлетворяет всем этим неравенствам.
Считают все корни уравнения после возведения в квадрат решениями исходного. Причина в том, что новое уравнение проще и его корни легко принять за окончательный ответ. Но преобразование могло добавить значения с неподходящим знаком правой части. Проверка подстановкой в исходное уравнение отделит истинные корни от посторонних.
При нескольких корнях возводят в квадрат слишком рано или пропускают скобки. В результате теряются слагаемые, а преобразованное уравнение может получить лишние решения. Сначала изолируй один корень, записывай квадрат суммы или разности целиком и раскрывай его по правилу. Если вычисления вызывают сомнение, проверь раскрытие скобок и обязательно проверь итоговые значения в исходной записи.
Для решения иррациональных уравнений нужны область допустимых значений, свойства квадратного и других степеней, а также умение решать линейные и квадратные уравнения. ОДЗ задаёт границы, в которых можно работать с корнями, а возведение в степень убирает радикал и приводит к уже знакомым типам уравнений. Ошибка в этих базовых навыках может изменить множество решений.
Иррациональные уравнения встречаются в задачах, где неизвестная величина выражена через радикалы. Приёмы их решения также пригодятся при изучении функций и уравнений более сложного вида. Умение отличать равносильные преобразования от тех, после которых необходима проверка, помогает контролировать решение в целом.
Почему после возведения уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни?
При возведении в квадрат теряется информация о знаке: например, равенство квадратов возможно и для противоположных чисел. Поэтому преобразованное уравнение может иметь решения, которые не подходят исходному. Каждый кандидат нужно подставить в исходное уравнение.
Нужно ли проверять корни, если при решении учитывалась ОДЗ?
Да. ОДЗ показывает, при каких значениях выражения под корнями определены, но не гарантирует, что после возведения в квадрат сохранится равносильность. Проверка в исходном уравнении выявляет посторонние корни.
Какие условия нужно записать перед решением уравнения √f(x) = g(x)?
Нужно записать f(x) ≥ 0, чтобы квадратный корень был определён, и g(x) ≥ 0, потому что значение квадратного корня неотрицательно. После этого обе части можно возвести в квадрат, не теряя равносильность на указанных условиях.
Можно ли сразу возвести в квадрат уравнение с двумя корнями?
Можно, если сначала правильно записать ОДЗ, но такое преобразование часто приводит к громоздкому выражению. Обычно удобнее изолировать один корень, возвести в квадрат, а затем при необходимости повторить действие. После этого обязательно проверяют кандидатов в исходном уравнении.
Чем решение уравнений с корнем нечетной степени отличается от решения уравнений с квадратным корнем?
Подкоренное выражение корня нечётной степени может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому ограничения на его знак не нужны. Возведение обеих частей в соответствующую нечётную степень сохраняет равносильность. Тем не менее полученные значения следует соотнести с исходным уравнением.
§ 9. Иррациональные уравнения
