"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Равносильные уравнения имеют одни и те же корни, а равносильные неравенства — одно и то же множество решений. Это позволяет заменять сложную запись более простой и решать задачу по шагам. Главное — следить, сохраняет ли каждое преобразование все решения: прибавление одинакового выражения обычно безопасно, а умножение на переменную или возведение в квадрат требует внимания. Проверка ОДЗ и найденных корней защищает от потери решений и посторонних ответов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равносильные уравнения — это уравнения с одинаковыми множествами корней. Они могут выглядеть по-разному: например, x + 2 = 5 и x = 3 имеют один и тот же корень. Такое понятие нужно, чтобы понимать, можно ли заменить исходное уравнение более удобным и не изменить ответ.
Равносильные неравенства — это неравенства, задающие одно и то же множество решений. Например, 2x > 6 и x > 3 верны при одних и тех же значениях x. Поэтому при решении неравенств важно сравнивать не вид записей, а все значения, которые им подходят.
Уравнение-следствие исходного уравнения — уравнение, каждый корень которого является корнем исходного. Обратное может быть неверно: у следствия иногда появляются дополнительные корни. Это понятие помогает заметить преобразования, после которых найденное множество решений может стать шире.
Область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменной, при которых выражения исходного уравнения или неравенства имеют смысл. Например, в дроби знаменатель не должен быть равен нулю, а подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным. ОДЗ ограничивает поиск и помогает отсеять недопустимые ответы.
Равносильность определяется совпадением решений, а не внешним сходством записей. Одно и то же преобразование может быть безопасным в одной ситуации и опасным в другой: например, деление на число, отличное от нуля, сохраняет уравнение, а деление на выражение, которое может равняться нулю, требует отдельного разбора. Поэтому перед каждым шагом стоит спросить, можно ли восстановить исходное условие из полученного. Если нет, решение может измениться.
Прибавление одного и того же выражения к обеим частям уравнения сохраняет равенство: если два значения равны, после прибавления одинаковой величины они остаются равны, и наоборот. По этой причине можно переносить слагаемые из одной части в другую, меняя знак. Для неравенства прибавление одинакового выражения также сохраняет порядок: если к двум сравниваемым величинам прибавить одну и ту же величину, большая останется большей. Выражение может зависеть от переменной, если оно определено на рассматриваемой ОДЗ.
Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число сохраняет равенство и его корни. Если множитель зависит от переменной, равносильность сохраняется только там, где он не обращается в нуль: иначе можно потерять значения, удовлетворяющие исходному уравнению, или получить некорректный переход. Поэтому нули такого выражения рассматривают отдельно, а при делении включают ограничение в рассуждение. Для неравенства дополнительно учитывают знак множителя.
У неравенства умножение на положительное число сохраняет направление сравнения, потому что порядок чисел не меняется; умножение на отрицательное меняет его на противоположное. Если множитель зависит от переменной, нельзя сразу выбрать один знак: сначала находят, где он положителен, отрицателен или равен нулю, и рассматривают эти случаи. В точках, где множитель равен нулю, делить на него нельзя, а умножение может свести обе части к нулю. Разбор знака нужен, чтобы не включить лишние значения и не пропустить подходящие.
Возведение обеих частей уравнения в чётную степень может дать уравнение-следствие: одинаковые чётные степени не говорят, что исходные части равны, ведь они могли отличаться знаком. При извлечении корня, наоборот, нужно учитывать, что квадратный корень неотрицателен и что исходное выражение должно быть определено. Поэтому до возведения в квадрат проверяют ОДЗ и возможные знаки, а после преобразования подставляют кандидатов в исходное уравнение. Для дробей и корней ограничения исходной записи сохраняют на всех этапах решения.
| Преобразование | Для уравнения | Для неравенства | Условие или предостережение |
|---|---|---|---|
| Прибавление одного выражения к обеим частям | Равносильное преобразование | Равносильное преобразование | Одно и то же выражение прибавляют к обеим частям |
| Умножение или деление на ненулевое число | Равносильное преобразование | На положительное число знак сохраняется, на отрицательное меняется | Число не должно быть нулём |
| Умножение или деление на выражение с переменной | Равносильно только при ненулевом выражении на ОДЗ | Учитывают знак выражения; при отрицательном знак неравенства меняется | Нужно установить, где выражение положительно, отрицательно или равно нулю |
| Возведение обеих частей в чётную степень | Может привести к уравнению-следствию | Может изменить множество решений | Нужно проверять решения или обосновывать преобразование условиями |
| Преобразования с дробями и корнями | Учитывают ОДЗ исходного уравнения | Учитывают ОДЗ исходного неравенства | Не терять ограничения и проверять допустимость найденных значений |
Сначала найдите строку, соответствующую планируемому шагу, а затем проверьте условия в последнем столбце. Если множитель содержит переменную или преобразование связано с чётной степенью, отдельно разберите нули, знаки и ограничения ОДЗ. Таблица помогает выбрать безопасный переход, но не заменяет проверку исходного условия.
Ответ: x = 4.
Ответ: x < 2.
Ответ: x = 3.
Ошибка — считать равносильным любое преобразование обеих частей, например умножение на выражение, которое может обратиться в ноль. Так поступают, потому что одинаковое действие над частями выглядит симметричным, но нулевой множитель способен изменить множество корней. Перед шагом проверьте, можно ли его обратить и не потеряются ли решения при нулевом значении.
Ошибка — делить на выражение с переменной, не исключив его нули и не рассмотрев их отдельно. Часто это делают, чтобы быстрее сократить дробь или упростить уравнение, не замечая, что деление на ноль запрещено. Найдите нули делителя до преобразования, решите соответствующий случай отдельно и подставьте кандидатов в исходную запись.
Ошибка — при умножении или делении неравенства на отрицательное число оставлять прежний знак. Причина в том, что правило для уравнений переносят на неравенства, хотя порядок чисел при отрицательном множителе меняется. Для самопроверки подставьте простые числа: из 2 < 5 после умножения на −1 получается −2 > −5.
Ошибка — принимать все корни уравнения, полученного возведением в чётную степень. Квадраты чисел с разными знаками могут совпасть, поэтому преобразование иногда добавляет посторонние корни. После решения подставьте каждое найденное значение в исходное уравнение и проверьте также его ОДЗ.
Для работы с равносильностью нужны навыки решения линейных уравнений и неравенств, а также преобразования алгебраических выражений. ОДЗ и проверка корней особенно важны в дробных и иррациональных уравнениях, а позже — в логарифмических: там ограничения возникают из знаменателей, корней и логарифмов. Умение контролировать каждый переход пригодится и при решении систем уравнений и неравенств, где решения должны удовлетворять всем условиям одновременно.
Чем равносильные уравнения отличаются от уравнений-следствий?
У равносильных уравнений множества корней совпадают. Уравнение-следствие может иметь дополнительные корни: каждый корень исходного уравнения подходит к следствию, но не каждый корень следствия обязательно подходит к исходному.
Можно ли делить обе части уравнения на выражение с переменной?
Можно, если это выражение не равно нулю на рассматриваемых значениях. Если оно может обратиться в ноль, сначала отдельно рассматривают этот случай, а при делении сохраняют ограничение и проверяют найденные корни.
Почему при делении неравенства на отрицательное число меняют знак?
При умножении или делении на отрицательное число порядок чисел на числовой прямой меняется на противоположный. Например, из 2 < 5 следует −2 > −5, поэтому знак неравенства нужно перевернуть.
Всегда ли возведение обеих частей уравнения в квадрат сохраняет равносильность?
Нет. Квадраты равны и у чисел с одинаковыми знаками, и у чисел с разными знаками, поэтому после возведения в квадрат могут появиться лишние корни. Чтобы получить равносильное преобразование, нужно учесть знаки обеих частей и проверить ответы в исходном уравнении.
Зачем проверять корни после преобразований?
Некоторые преобразования могут добавить посторонние значения, а ограничения исходного уравнения могут исключать найденные числа. Подстановка в исходную запись позволяет проверить и допустимость значения, и то, действительно ли оно является корнем.
§ 8. Равносильные уравнения и неравенства
