"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Обратная функция восстанавливает аргумент по значению исходной функции: если f(a) = b, то f⁻¹(b) = a. Она существует, когда каждое значение функции получается не более чем при одном аргументе. В параграфе разобраны области определения и значений, алгоритм нахождения обратной функции, взаимная обратность, симметрия графиков относительно y = x и проверка результата.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обратная функция к функции y = f(x) — функция, которая каждому значению y из области значений f ставит в соответствие единственное значение x, для которого f(x) = y. Иными словами, она возвращает аргумент, по которому было получено известное значение. Обратную функцию обозначают f⁻¹ и читают «эф обратная».
Взаимно обратные функции — это функции f и g, для которых g(f(x)) = x и f(g(y)) = y на соответствующих областях определения. Первое равенство означает, что g отменяет действие f, а второе — что f отменяет действие g. Такое определение позволяет проверять взаимную обратность вычислением композиций.
Область определения обратной функции — множество значений исходной функции. Поэтому область значений f⁻¹ совпадает с областью определения f. Эти множества меняются местами, и без их указания формула обратной функции описывает не весь нужный объект.
Обратную функцию можно задать только для функции, принимающей каждое значение не более чем при одном аргументе. Если, например, f(a) = f(b) при a ≠ b, то одному аргументу обратной функции пришлось бы соответствовать сразу два числа a и b. Это противоречит определению функции, поэтому исходная зависимость должна быть взаимно однозначной между своими областями.
Формулу находят из равенства y = f(x). Сначала рассматривают y как известное значение и выражают через него x, то есть решают уравнение относительно исходного аргумента. Затем буквы x и y меняют местами, чтобы получить запись новой функции с аргументом x: y = f⁻¹(x).
При переходе к обратной функции роли чисел меняются. Число, которое раньше было аргументом, становится значением функции, а прежнее значение становится новым аргументом. Поэтому область определения f⁻¹ равна области значений f, а область значений f⁻¹ равна области определения f.
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x. Если точка (a, b) принадлежит графику y = f(x), то f(a) = b, а точка (b, a) принадлежит графику обратной функции. Отражение относительно y = x как раз меняет координаты точки местами, поэтому каждый участок одного графика переходит в соответствующий участок другого.
Результат проверяют подстановкой одной функции в другую. Нужно вычислить g(f(x)) и f(g(x)) и убедиться, что получаются тождественные равенства на указанных областях. Такая проверка одновременно выявляет ошибку в преобразованиях и неверно выбранную область определения.
| Характеристика | f(x) | f⁻¹(x) |
|---|---|---|
| Область определения | D(f) | E(f) |
| Область значений | E(f) | D(f) |
| Связь областей определения и значений | D(f) переходит в E(f) | E(f) переходит в D(f) |
| Композиция функций | f⁻¹(f(x)) = x | f(f⁻¹(x)) = x |
| Связь графиков | Симметрия относительно y = x | |
В таблице D(f) обозначает область определения, а E(f) — область значений функции. Сначала найдите эти множества для исходной функции, затем поменяйте их местами для обратной. Равенства композиции проверяют только на соответствующих областях, иначе можно получить неверное утверждение.
Нужно выразить исходный аргумент через значение функции, а затем оформить результат как новую функцию. Линейная функция имеет ненулевой коэффициент при x, поэтому каждое её значение принимается ровно один раз. Область определения и область значений обеих функций — все действительные числа.
Ответ: f⁻¹(x) = x/3 + 2, D(f⁻¹) = R, E(f⁻¹) = R.
Ограничение x ≥ 0 нужно сохранить: на всей числовой прямой квадратичная функция принимает, например, значение 9 при x = 3 и x = −3. При заданном ограничении функция возрастает и каждое значение принимает единственный раз. Её значения неотрицательны, поэтому именно они станут областью определения обратной функции.
Ответ: f⁻¹(x) = √x, x ≥ 0; её область значений также [0; +∞).
Обе формулы линейны и определены при любом действительном x. Чтобы доказать взаимную обратность, недостаточно заметить, что коэффициенты выглядят противоположно преобразованными. Нужно проверить обе композиции и указать, что равенства верны на всей числовой прямой.
Ответ: f и g взаимно обратны; D(f) = E(f) = D(g) = E(g) = R.
Частая ошибка — считать обратной функцией дробь 1/f(x). Так обозначают обратное число, а не зависимость, возвращающую исходный аргумент. Проверка проста: для обратной функции должны выполняться композиции f⁻¹(f(x)) = x и f(f⁻¹(x)) = x.
Нельзя автоматически находить обратную к y = x² на всей числовой прямой. Значение, например 4, получается при x = 2 и x = −2, поэтому обратное соответствие не будет функцией. Ограничьте область определения условием x ≥ 0 или x ≤ 0 и выберите соответствующую ветвь корня.
Иногда меняют местами x и y, но оставляют полученное равенство без преобразования. После обмена нужно привести его к виду y = …, иначе формула не показывает значение новой функции через её аргумент. Проверьте запись подстановкой и композициями.
Ещё одна ошибка — не указывать области определения и значений обратной функции. Формула без допустимых значений может оказаться неполной или даже неверной. Сверьте множества: D(f⁻¹) = E(f), а E(f⁻¹) = D(f).
До изучения обратных функций нужно уметь находить область определения и область значений функции, а также решать уравнения относительно одной переменной. Эти навыки нужны, чтобы выбрать допустимые значения и корректно выразить x через y. Без них легко получить формулу с лишними корнями или неверной областью.
Тема пригодится при изучении обратных тригонометрических функций и логарифмов. Идея обратимости помогает также решать уравнения: применяя обратную функцию, можно восстановить неизвестный аргумент. Поэтому проверка областей остаётся обязательной частью решения.
Чем обратная функция отличается от дроби 1/f(x)?
Дробь 1/f(x) — это функция, обратная по умножению: её произведение с f(x) равно 1. Обратная функция восстанавливает аргумент: если y = f(x), то x = f⁻¹(y).
Почему у функции не всегда существует обратная?
Если одно и то же значение функции получается при разных аргументах, обратная функция должна была бы одному аргументу сопоставить несколько значений. Это невозможно для функции, поэтому исходная функция должна принимать каждое значение не более чем при одном аргументе.
Зачем при нахождении обратной функции менять местами x и y?
После выражения x через y получается зависимость исходного аргумента от значения функции. Обмен обозначений записывает эту зависимость в привычном виде y = f⁻¹(x), где новый аргумент обозначен буквой x.
Как определить область определения обратной функции?
Область определения обратной функции равна области значений исходной функции. Сначала находят все значения f(x), а затем именно это множество указывают допустимыми значениями аргумента для f⁻¹.
Почему графики взаимно обратных функций симметричны относительно y = x?
На графике исходной функции точке (a, b) соответствует равенство f(a) = b. На графике обратной функции появляется точка (b, a), а отражение точки относительно y = x как раз меняет координаты местами.
§ 7. Взаимно обратные функции
