§ 6. Степенная функция, её свойства и график

Определения и обозначения

Степенная функция — функция вида y = xᵃ, где a — фиксированное число, называемое показателем степени. В зависимости от a выражение может задавать разные значения при x = 0 или отрицательных x. Поэтому прежде, чем строить график или решать уравнение, выясняют область определения — все допустимые значения аргумента.

Натуральная степень xⁿ, где n — натуральное число, означает произведение n одинаковых множителей: xⁿ = x · x · … · x. Например, x⁴ = x · x · x · x. Такая запись позволяет кратко описывать повторное умножение и сразу замечать, что чётная степень числа неотрицательна.

Целая отрицательная степень определяется равенством x⁻ⁿ = 1/xⁿ, где n — натуральное число. Она превращает степень в обратную величину: например, x⁻² = 1/x². Ноль не входит в область определения, потому что при подстановке x = 0 знаменатель дроби становится нулём.

Дробная степень xᵐ⁄ⁿ связана с корнем n-й степени: при допустимых x это число, n-я степень которого равна xᵐ. Если после сокращения дроби знаменатель n чётный, в действительных числах требуется x ≥ 0; если он нечётный, можно брать и отрицательные основания. При отрицательном показателе дополнительно исключают x = 0, так как возникает деление на ноль.

Как это устроено

Симметрия графика при целом показателе следует из того, что происходит со знаком при замене x на −x. Для чётного n имеем (−x)ⁿ = xⁿ: значения справа и слева от оси Oy совпадают, значит, график зеркально отражается относительно этой оси. Для нечётного n получается (−x)ⁿ = −xⁿ, поэтому каждой точке соответствует точка, противоположная относительно начала координат. Это и есть признак нечётной функции.

Знак показателя показывает, умножаем мы аргумент на себя или рассматриваем обратную величину. При положительном целом показателе модуль xⁿ становится большим при увеличении |x|; если показатель чётный, значения положительны по обе стороны от нуля, а если нечётный — знак совпадает со знаком x. Отрицательный показатель означает y = 1/xⁿ: при больших |x| знаменатель растёт и значение по модулю приближается к нулю, а около нуля модуль функции становится большим. Поэтому поведение обратных степеней отличается от поведения положительных.

У дробного показателя важен знаменатель, поскольку он задаёт корень. При чётном знаменателе корень из отрицательного числа в действительных числах не существует, поэтому график начинается на оси Oy или правее неё. При нечётном знаменателе допустимы отрицательные x, и график может располагаться по обе стороны от оси Oy. Чётность числителя влияет на знак результата: например, корень нечётной степени сохраняет знак основания, а возведение результата в чётную степень даёт неотрицательные значения. Если показатель отрицательный, ноль из области определения убирают в любом случае.

Сравним четыре показателя. Функция y = x² определена при любом x, принимает только неотрицательные значения и имеет минимум в нуле: она убывает слева от нуля и возрастает справа. Функция y = x³ также определена на всей прямой, но принимает любые действительные значения и возрастает на всей области определения. Функция y = √x существует только при x ≥ 0, принимает неотрицательные значения и возрастает. У y = 1/x исключён ноль, значения тоже не равны нулю, а функция убывает отдельно на каждой из двух частей области определения.

У функции с отрицательным показателем знаменатель обращается в ноль при x = 0, поэтому график не может пересечь вертикальную ось в этой точке. Нулевое значение также невозможно: дробь с числителем 1 не равна нулю, значит, график не пересекает горизонтальную ось. Для y = 1/x при приближении x к нулю модуль y неограниченно растёт, а при увеличении |x| значение стремится к нулю. Прямые x = 0 и y = 0 служат асимптотами — график приближается к ним, но не достигает.

Свойства степенных функций с разными показателями

Сопоставляйте функции по строкам: так видно, как изменение показателя влияет на область определения, значения и поведение графика. Множество значений — это все числа, которые может принимать y; монотонность указываем на промежутках, если поведение меняется или область разделена. Асимптота — прямая, к которой график неограниченно приближается.

Разбор задач

Задача 1. Найти область определения и множество значений функции y = x⁴.

Сначала выясним, есть ли ограничения на x. Показатель 4 — натуральное число, поэтому x⁴ вычисляется для любого действительного x. Затем используем чётность показателя: четвёртая степень неотрицательна и равна нулю только при x = 0.

1. Запишем область определения: выражение x⁴ не содержит знаменателя или корня, поэтому D(y) = R.
2. Так как x⁴ = (x²)², а квадрат неотрицателен, получаем x⁴ ≥ 0 при любом x.
3. Значение 0 достигается при x = 0, а любое положительное число можно представить как четвёртую степень некоторого неотрицательного числа. Следовательно, E(y) = [0; +∞).

Ответ: область определения — R, множество значений — [0; +∞). Здесь чётность показателя определила знак значений, а возможность подставить любое действительное x — область определения.

Задача 2. Построить график функции y = x¹⁄³ и определить, на каких промежутках она возрастает.

Дробная степень x¹⁄³ — это кубический корень из x: y = ∛x. В отличие от квадратного корня, кубический корень определён и для отрицательных чисел, поскольку отрицательное число при возведении в куб остаётся отрицательным. Для построения удобно взять значения x, которые являются кубами целых чисел.

1. Составим несколько точек: при x = −8 получаем y = −2; при x = −1 — y = −1; при x = 0 — y = 0; при x = 1 — y = 1; при x = 8 — y = 2.
2. Нанесём точки (−8; −2), (−1; −1), (0; 0), (1; 1), (8; 2) и соединим их плавной кривой. График проходит через начало координат и симметричен относительно него, потому что ∛(−x) = −∛x.
3. Кубический корень сохраняет порядок чисел: если x₁ < x₂, то ∛x₁ < ∛x₂. Поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: график проходит через перечисленные точки; функция возрастает на (−∞; +∞). Таблица значений задаёт удобные опорные точки, а свойство корня помогает определить ход кривой между ними.

Задача 3. Для функции y = 1/x² найти область определения, множество значений, интервалы монотонности и описать поведение графика у осей.

Перепишем функцию как y = x⁻² = 1/x². Такая запись сразу показывает, что x = 0 запрещён, а квадрат в знаменателе положителен при любом ненулевом x. Из-за квадрата значения функции одинаковы для x и −x, поэтому ветви графика симметричны относительно оси Oy.

1. Исключаем ноль из области определения: D(y) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞).
2. Так как x² > 0 при x ≠ 0, дробь 1/x² положительна. Значение 0 не достигается, поэтому E(y) = (0; +∞).
3. На промежутке (−∞; 0) при движении x к нулю знаменатель уменьшается, а значение дроби растёт; функция возрастает. На (0; +∞) при увеличении x² дробь уменьшается, поэтому функция убывает.
4. При x → 0 с любой стороны y → +∞, а при |x| → +∞ y → 0. Значит, график приближается к прямым x = 0 и y = 0, не пересекая ни одну из координатных осей.

Ответ: D(y) = R без нуля, E(y) = (0; +∞); функция возрастает на (−∞; 0) и убывает на (0; +∞). Её график имеет две ветви, расположенные выше оси Ox, с асимптотами x = 0 и y = 0.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что основание любой дробной степени может быть отрицательным. Это неверно, если после сокращения дроби знаменатель чётный: тогда требуется корень чётной степени, который в действительных числах определён только для неотрицательного подкоренного выражения. Ошибку допускают, запоминая правило для кубического корня и перенося его на все корни. Проверьте знаменатель дробного показателя и отдельно учтите, что отрицательный показатель исключает ноль.

Ошибка: включать ноль в область определения функции с отрицательным показателем. Поскольку x⁻ⁿ = 1/xⁿ, при x = 0 получается деление на ноль, которое не имеет смысла. Ноль забывают исключить, если смотрят только на значок степени и не переписывают выражение дробью. Для проверки представьте отрицательную степень как дробь и найдите значения, при которых знаменатель равен нулю.

Ошибка: путать чётность показателя с чётностью функции. Например, правило о симметрии относительно Oy относится к функции с целым чётным показателем, а не к любому выражению, в котором видна чётная цифра. Причина ошибки — считать чётность показателя и свойство f(−x) = f(x) одним и тем же утверждением. Подставьте −x: если значение не меняется, функция чётная; если меняет знак, она нечётная.

Ошибка: считать асимптоту точкой пересечения графика с осью. График y = 1/x не пересекает ни одну ось: при x = 0 функция не определена, а дробь с числителем 1 не может равняться нулю. Такое заблуждение возникает из-за того, что ветви графика на рисунке близко подходят к осям. Проверьте подстановкой: у точки пересечения с Ox должно быть y = 0, а с Oy — x = 0; оба условия для этой функции невозможны.

Связь с другими темами

Для изучения степенных функций понадобятся свойства степеней с целыми и рациональными показателями, понимание корней и умение находить область определения выражения. В частности, нужно знать, как знак показателя превращает степень в дробь, и различать корни чётной и нечётной степени. Эти знания позволяют заранее установить допустимые значения x, а затем переходить к графику.

Степенные функции пригодятся при преобразовании графиков: можно сдвигать, растягивать и отражать знакомые кривые. Они также помогают сравнивать поведение показательной и логарифмической функций, исследовать функции и решать уравнения. Понимание области определения и симметрии особенно полезно, когда график нужно построить или описать без вычисления множества точек.

Что запомнить

• Степенная функция имеет вид y = xᵃ.
• Область определения зависит от показателя степени.
• При чётном целом показателе график симметричен относительно оси Oy.
• При нечётном целом показателе график симметричен относительно начала координат.
• Отрицательный показатель означает обратную степень, поэтому x = 0 исключается.
• График y = 1/x имеет асимптоты x = 0 и y = 0.