"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Равносильные уравнения и неравенства имеют одинаковые множества решений, поэтому их можно заменять более простыми формами. Главное при преобразованиях — не изменить область допустимых значений и не добавить или потерять решения. Прибавление одного и того же выражения обычно безопасно, а умножение на выражение с неизвестным знаком, возведение в квадрат и работа со знаменателями требуют дополнительных условий и проверки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равносильные уравнения — уравнения с одной и той же областью допустимых значений и совпадающими множествами корней. Иными словами, при одинаковых допустимых значениях переменной оба уравнения дают один и тот же ответ. Это понятие позволяет заменять сложное уравнение более простым без изменения результата.
Равносильные неравенства — неравенства, задающие одно и то же множество решений на общей области допустимых значений. Их решения могут быть записаны по-разному, например промежутком или системой условий. Главное, чтобы набор подходящих значений переменной совпадал.
Равносильное преобразование — преобразование уравнения или неравенства, не изменяющее множество его решений. К таким действиям относятся, например, прибавление одного и того же выражения к обеим частям. Знание допустимых преобразований помогает решать, не добавляя посторонних корней.
Область допустимых значений, или ОДЗ, — значения переменных, при которых имеют смысл все выражения исходного уравнения или неравенства. Нельзя делить на ноль, извлекать в действительных числах квадратный корень из отрицательного выражения или использовать логарифм недопустимого аргумента. ОДЗ находят до преобразований и учитывают в ответе.
Главный признак равносильности — совпадение множеств решений, а не внешнее сходство записей. Если хотя бы одно подходящее значение исчезло или появилось новое, преобразованные условия уже не равносильны. Поэтому каждое действие оценивают по вопросу: можно ли по нему восстановить исходное условие и не изменились ли ограничения на переменную.
Прибавление или вычитание одного и того же выражения из обеих частей сохраняет равенство, потому что обратным действием его можно вернуть. Для неравенства порядок чисел также не меняется: если к обеим частям прибавить одно и то же число, разность между ними останется прежней. Выражение при этом должно быть определено на рассматриваемой области.
Умножение или деление уравнения на ненулевое выражение сохраняет равенство: ненулевой множитель можно сократить или вернуть обратным действием. В неравенстве положительный множитель сохраняет порядок, а отрицательный меняет его на противоположный. Если множитель может обращаться в ноль или менять знак, одного общего преобразования без разбора случаев недостаточно.
ОДЗ находят до преобразований, потому что исходная запись может запрещать некоторые значения, даже если после упрощения запрет исчезает. Например, сокращение дроби не делает допустимым значение, при котором первоначальный знаменатель равнялся нулю. Поэтому ограничения переносят в решение и пересекают с найденными корнями или промежутками.
Возведение обеих частей в квадрат может скрыть различие между противоположными числами и потому иногда даёт только следствие исходного условия. Умножение на выражение с неизвестным знаком способно перевернуть знак неравенства или добавить значение, при котором множитель равен нулю. Освобождение от знаменателей тоже требует контроля: нужно учитывать ОДЗ, знак множителя и проверять результат в исходном условии.
Таблица показывает, какое условие нужно проверить перед каждым действием. Если нужное условие не выполнено, преобразование нельзя считать равносильным автоматически. В таком случае разбивают область на случаи или проверяют полученные значения в исходной записи.
| Преобразование | Уравнение | Неравенство | Условие применения |
|---|---|---|---|
| Прибавление или вычитание одного и того же выражения | Равносильность сохраняется | Равносильность сохраняется | Выражение должно быть определено на рассматриваемой области |
| Умножение или деление на положительное число или выражение | Равносильность сохраняется | Равносильность сохраняется без изменения знака | Множитель не равен нулю и положителен |
| Умножение или деление на отрицательное число или выражение | Равносильность сохраняется | Знак неравенства меняется на противоположный | Множитель не равен нулю и отрицателен |
| Умножение на выражение, знак которого неизвестен | Возможна потеря или появление решений | Возможна потеря или появление решений | Сначала нужно установить знак множителя или разбить область на случаи |
| Возведение обеих частей в квадрат | Не всегда сохраняет равносильность | Не всегда сохраняет равносильность | Нужно учитывать знаки обеих частей и проверять найденные решения |
| Исключение значений, при которых знаменатель равен нулю | Такие значения не могут быть корнями | Такие значения не могут быть решениями | Исключённые значения входят в ОДЗ |
Нужно освободить переменную, выполняя действия сразу с обеими частями. Прибавление 5 и деление на 3 являются равносильными преобразованиями. Дополнительная проверка подтверждает найденное значение.
Ответ: x = 4.
Знаменатель нельзя считать постоянным множителем, потому что его знак зависит от x. Поэтому сначала исключим x = −2, перенесём всё в левую часть и исследуем знак дроби по критическим точкам. Такой способ не требует опасного умножения на выражение неизвестного знака.
Ответ: x ∈ (−5; −2).
Левая часть квадратного корня неотрицательна, поэтому правая часть тоже должна быть неотрицательной. После этого квадратирование даст необходимое условие, но найденные значения всё равно нужно проверить в исходном уравнении. Так исключаются посторонние корни.
Ответ: x = 3.
Умножение неравенства на выражение с неизвестным знаком. Ученик переносит знаменатель в другую часть как обычное число и забывает, что знак может измениться. Нужно определить знак множителя или разбить числовую прямую на случаи.
Отсутствие ОДЗ. При дробях, корнях и логарифмах после упрощения могут появиться недопустимые значения. До решения выпишите ограничения, а в конце пересеките с ними полученный ответ.
Возведение уравнения в квадрат без проверки. Квадраты не различают противоположные числа, поэтому возникают посторонние корни. Подставляйте каждый найденный корень именно в исходное уравнение.
Умножение на выражение, которое может быть равно нулю. Такое действие способно добавить решения, ведь обратное деление окажется невозможным. Проверьте нулевые значения множителя и не включайте их без проверки исходного условия.
До этой темы нужны свойства равенств и неравенств, правила действий с дробями, корнями и выражениями разных знаков. Равносильные преобразования используются при решении рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств. ОДЗ также связана с исследованием функций: ограничения определяют, на каких участках числовой прямой рассматривают выражение и множество его решений.
Как доказать, что два уравнения равносильны?
Нужно показать, что у них одна и та же область допустимых значений и одинаковое множество корней. Обычно это делают цепочкой равносильных преобразований, где каждый шаг сохраняет решения.
Можно ли делить обе части неравенства на выражение с переменной?
Можно только после определения знака этого выражения и проверки, что оно не равно нулю. Если выражение положительно, знак сохраняется, если отрицательно — меняется; при неизвестном знаке область разбивают на случаи.
Почему при умножении неравенства на отрицательное число знак меняется?
На числовой прямой умножение на отрицательное число меняет порядок чисел: большее становится меньшим относительно другого. Поэтому знак < превращается в >, а знак ≤ — в ≥.
Всегда ли возведение уравнения в квадрат сохраняет равносильность?
Нет. Квадраты одинаковы у противоположных чисел, поэтому после возведения могут появиться посторонние корни. Нужно заранее учитывать знаки частей уравнения и проверять найденные значения в исходной записи.
Зачем находить ОДЗ, если после решения можно проверить корни?
ОДЗ сразу исключает значения, при которых исходное выражение не имеет смысла, и помогает правильно выполнять преобразования. Проверка полезна, но она не заменяет контроль знаменателей, корней и других ограничений на каждом этапе.
2. Равносильные уравнения и неравенства
