"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Уравнения, тождества и неравенства описывают отношения между числами и выражениями с переменными. Уравнение нужно решить, то есть найти все значения, при которых равенство верно. Тождество справедливо для каждого допустимого значения, а решение неравенства представляет собой множество значений, где выполняется сравнение. Для успешного решения важно учитывать область допустимых значений, сохранять равносильность преобразований и проверять результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство с переменной, например 3x − 7 = 11. Выражение слева от знака «=» называют левой частью, а справа — правой частью. Область допустимых значений показывает, при каких значениях переменной обе части имеют смысл.
Корень уравнения — значение переменной, при котором равенство становится верным. У уравнения может быть один корень, несколько корней или не быть корней вовсе. Поиск корней и составляет основную задачу при решении уравнения.
Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях входящих переменных. Например, (a + b)² = a² + 2ab + b² выполняется для любых допустимых a и b. Тождества нужны для преобразования выражений и доказательства равенств.
Неравенство — запись с переменными и одним из знаков сравнения: >, <, ≥ или ≤. Его решением называют множество всех значений, при которых сравнение истинно. Поэтому ответом может быть не одно число, а промежуток или объединение промежутков.
Уравнение и тождество выглядят похоже, но требуют разного подхода. Уравнение проверяют на отдельных значениях и ищут те, что делают равенство верным. Тождество должно работать на всей области допустимых значений, поэтому достаточно доказать его преобразованиями, не выбирая отдельные числа.
ОДЗ ограничивает поиск решений, потому что не всякая запись имеет смысл. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, а выражение под чётным корнем должно быть неотрицательным. Если забыть эти условия, можно принять за решение число, при котором исходное выражение не существует.
Преобразования должны сохранять множество решений: тогда новое уравнение или неравенство называют равносильным исходному. Раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и перенос слагаемого с изменением его знака сохраняют равносильность. Неравносильное преобразование может добавить посторонние решения или потерять настоящие, поэтому результат после него проверяют.
При умножении обеих частей уравнения на выражение нужно знать, что это выражение не равно нулю на ОДЗ, иначе могут появиться дополнительные корни. Деление на переменное выражение также допустимо только после условия, что оно не равно нулю; исключённые значения проверяют отдельно. Умножение на общий знаменатель обычно удобно, но ограничение на знаменатель сохраняется до конца решения.
В неравенстве умножение или деление на положительное число сохраняет знак, а на отрицательное меняет его на противоположный. Если знак множителя неизвестен, нельзя выполнять такое действие одним шагом: нужно разделить рассуждение на случаи положительного, отрицательного и нулевого множителя. Именно поэтому при работе с переменным множителем сначала исследуют его знак.
| Признак | Уравнение | Тождество | Неравенство |
|---|---|---|---|
| Основной знак записи | = | = | >, <, ≥, ≤ |
| Что требуется найти | Корни | Подтвердить общую верность | Все значения, удовлетворяющие сравнению |
| Для каких значений верно | Для отдельных значений или ни для каких | Для всех допустимых значений | Для значений из некоторого множества |
| Как записывается ответ | Числа, множество корней или «корней нет» | Доказанное равенство | Промежуток или объединение промежутков |
| Какие преобразования допустимы | Равносильные с учётом ОДЗ | Преобразования, сохраняющие область допустимых значений | Равносильные с учётом знака множителя |
| Пример проверки результата | Подстановка корня в исходное равенство | Проверка преобразований на ОДЗ | Проверка знаков на выбранных промежутках |
Сначала определите, с каким объектом работаете и что требуется получить. Затем проверьте ОДЗ и выбирайте преобразования, которые не меняют множество решений. Последняя строка таблицы подсказывает способ контроля результата.
Решим уравнение 3x − 7 = 11 и проверим найденный корень. Здесь ограничений на x нет, потому что используются только сложение и умножение. Нужно освободить переменную от постоянного слагаемого, а затем от коэффициента.
Ответ: x = 6. Проверка выполнена в исходной записи, поэтому найденное значение действительно является корнем.
Решим (x + 1)/(x − 2) = 3. Сначала учитываем знаменатель: x − 2 ≠ 0, поэтому x ≠ 2. Только после этого можно умножить обе части на x − 2.
Ответ: x = 7/2. Значение x = 2 не является кандидатом на корень, поскольку исходное выражение при нём не определено.
Решим (x − 3)(2x + 1)/(x − 4) ≤ 0. Нули числителя: x = 3 и x = −1/2, а ноль знаменателя x = 4 нужно исключить. Эти точки делят числовую прямую на промежутки, внутри которых знак выражения постоянен.
Ответ: (−∞; −1/2] ∪ [3; 4). Такой вид ответа показывает все подходящие значения, включая допустимые нули числителя и не включая запрещённый ноль знаменателя.
Потеря ограничения на знаменатель возникает после умножения дробного уравнения на знаменатель. Ученик получает правильную формулу, но забывает, что прежнее выражение не существовало при нулевом знаменателе. Проверяйте каждое найденное значение по ОДЗ.
При переносе слагаемого знак неравенства не меняется: меняется знак самого перенесённого слагаемого. Знак сравнения переворачивается только при умножении или делении обеих частей на отрицательное число. Полезно называть действие полностью перед его выполнением.
Иногда любое число, полученное после преобразований, принимают за корень. Это особенно опасно при дробях, корнях и умножении на выражение с переменной. Подставьте ответ в исходную запись и проверьте ОДЗ.
Равенство, верное лишь при некоторых значениях, нельзя называть тождеством. Такое равенство является уравнением с определёнными корнями. Для проверки спросите себя, выполняется ли оно на всей области допустимых значений.
До изучения темы нужны действия с алгебраическими выражениями, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, свойства равенств и работа с числовой прямой. Эти навыки составляют основу преобразований.
Дальше понятия понадобятся при решении систем, задач с параметрами, преобразовании функций и доказательстве тождеств. Умение сохранять множество решений особенно важно в сложных цепочках преобразований.
ОДЗ напрямую связана с областью определения функции. Ограничения на знаменатели и корни используются при исследовании рациональных, иррациональных и логарифмических выражений.
Чем уравнение отличается от тождества?
Уравнение верно только при некоторых значениях переменной, которые и требуется найти. Тождество верно при всех значениях из области допустимых значений.
Почему нельзя сразу сократить переменный множитель?
Переменный множитель может оказаться равным нулю, а деление на ноль запрещено. Перед сокращением нужно указать, что множитель не равен нулю, и отдельно проверить исключённое значение.
Нужно ли проверять корни после решения уравнения?
Да, особенно если в ходе решения были дроби, корни или умножение на выражение с переменной. Подстановка в исходное уравнение помогает обнаружить посторонние значения.
Когда при преобразовании неравенства меняется знак?
Знак меняется при умножении или делении обеих частей на отрицательное число. При переносе слагаемого знак неравенства сам по себе не меняется.
Почему ответ неравенства часто записывают промежутком?
Неравенство обычно имеет не один корень, а целое множество подходящих значений. Промежуток кратко показывает все эти числа и отмечает, входят ли границы в решение.
1. Уравнения, тождества, неравенства
