§ 4. Рациональные уравнения и неравенства с одной переменной

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — уравнение, в котором переменная входит в числитель или знаменатель рациональных выражений. Например, (2x − 1)/(x + 3) = 1. Для такой задачи недостаточно найти корни: нужно также проверить, допустимы ли они.

Рациональное неравенство — неравенство, содержащее рациональные выражения с переменной. Его решение обычно состоит не из отдельных чисел, а из промежутков числовой прямой. Поэтому нужно исследовать знак выражения на разных участках.

Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения переменной, при которых знаменатели рациональных выражений не обращаются в нуль. ОДЗ фиксирует, где исходная задача имеет смысл. Значения вне ОДЗ нельзя возвращать в ответ после преобразований.

Метод интервалов — способ решения рациональных неравенств по знакам числителя и знаменателя на промежутках между критическими точками. Критическими называют нули числителя и знаменателя. Метод помогает определить, где дробь положительна, отрицательна или равна нулю.

Как это устроено

Перед преобразованием рационального уравнения находят ОДЗ, потому что исходные дроби определены не при всех значениях переменной. Если знаменатель равен нулю, запись уравнения теряет смысл, а действия с ней становятся незаконными. Поэтому ограничения сохраняют отдельно и учитывают до конца решения.

Чтобы избавиться от дробей, обе части уравнения умножают на общий знаменатель. На ОДЗ он не равен нулю, поэтому такое умножение сохраняет равенство и сводит задачу к многочленному уравнению. Полученные корни сравнивают с ОДЗ и проверяют в исходной записи, поскольку корень вне области допустимых значений является посторонним.

В неравенстве сначала переносят все слагаемые в одну сторону и приводят их к одной дроби. Нули числителя показывают, где выражение равно нулю, поэтому при нестрогом знаке они могут попасть в ответ. Нули знаменателя отмечают границы области определения и исключают всегда.

Критические точки разбивают числовую прямую на интервалы. Внутри каждого такого интервала числитель и знаменатель не обращаются в нуль, а их знаки не меняются, значит, постоянен и знак дроби. Для каждого интервала выбирают пробную точку, определяют знак и оставляют участки, соответствующие условию.

Рациональные уравнения и неравенства: основные действия и правила

Сначала найдите строку, соответствующую виду задачи, и выполните действия из второго и третьего столбцов. Последние два столбца напоминают о проверке границ и правильной записи множества решений. Скобки в ответе показывают, входит ли граничная точка.

Разбор задач

Уравнение с одним знаменателем

Задача: решить уравнение (2x − 1)/(x + 3) = 1.

1. Знаменатель не должен быть нулём: x + 3 ≠ 0, поэтому ОДЗ: x ≠ −3.
2. Умножаем обе части на x + 3: 2x − 1 = x + 3. Отсюда x = 4.
3. Число 4 принадлежит ОДЗ, поэтому подстановка в исходное уравнение подтверждает корень.

Ответ: x = 4.

Уравнение с несколькими знаменателями

Задача: решить уравнение 1/(x − 2) + 1/(x + 2) = 1.

1. ОДЗ: x ≠ 2 и x ≠ −2. Общий знаменатель равен (x − 2)(x + 2).
2. После умножения получаем (x + 2) + (x − 2) = x² − 4, то есть 2x = x² − 4. Тогда x² − 2x − 4 = 0.
3. Корни квадратного уравнения: x = 1 ± √5. Оба не равны 2 и −2, значит, оба допустимы.

Ответ: x = 1 − √5, x = 1 + √5.

Неравенство и метод интервалов

Задача: решить ((x − 1)(x + 2))/((x − 3)(x + 1)) ≥ 0.

1. Критические точки: −2 и 1 — нули числителя, −1 и 3 — нули знаменателя. Расставляем их по порядку: −2, −1, 1, 3.
2. Проверка знаков на интервалах даёт: положительный знак на (−∞; −2), отрицательный на (−2; −1), положительный на (−1; 1), отрицательный на (1; 3), положительный на (3; +∞).
3. Так как неравенство нестрогое, −2 и 1 включаем, а −1 и 3 исключаем.

Ответ: (−∞; −2] ∪ (−1; 1] ∪ (3; +∞).

Типичные ошибки

Не находят ОДЗ. Тогда в ответ попадает значение, при котором знаменатель равен нулю. Ошибку проверяют подстановкой каждого корня в знаменатели исходного выражения.

Не проверяют корни после умножения. Преобразованное уравнение может иметь корень вне исходной области допустимых значений. Сначала сравните корни с ОДЗ, затем подставьте оставшиеся в исходное уравнение.

Умножают неравенство на выражение неизвестного знака без смены знака. Такой множитель может быть положительным на одном промежутке и отрицательным на другом. Используйте метод интервалов или разбирайте знаки отдельно.

Неверно учитывают границы в методе интервалов. Нули знаменателя иногда ошибочно включают, а нули числителя неправильно исключают. Для самопроверки поставьте круглую скобку у недопустимой точки и сверьте знак неравенства.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны действия с алгебраическими дробями, разложение многочленов на множители, а также решение линейных и квадратных уравнений. Эти навыки превращают дробное уравнение в более знакомую задачу. Без них трудно правильно находить общий знаменатель и критические точки.

Метод интервалов опирается на координатную прямую, знаки произведения и частного. Его обоснование связано с тем, что рациональное выражение сохраняет знак на каждом промежутке ОДЗ, пока не проходит через нуль или точку разрыва.

Рациональные выражения встречаются в системах неравенств и формулах функций. Позже эти идеи понадобятся в уравнениях с параметрами и математическом анализе. Умение работать с ОДЗ помогает исследовать область определения и поведение функций.

Что запомнить

• Сначала находят ОДЗ, затем выполняют преобразования.
• Общий знаменатель рационального уравнения нельзя приравнивать к нулю.
• После преобразований корни рационального уравнения проверяют по ОДЗ.
• В рациональном неравенстве критическими являются нули числителя и знаменателя.
• Нули числителя могут входить в ответ при нестрогом неравенстве.
• Нули знаменателя не входят в ответ никогда.
• Знак выражения на каждом промежутке определяют отдельно.