"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная находится под знаком корня. Чтобы его решить, сначала выясняют, при каких значениях переменной выражения имеют смысл, затем изолируют корень и при необходимости возводят обе части в квадрат. Такое преобразование может добавить посторонние корни, поэтому найденные значения обязательно проверяют подстановкой в исходное уравнение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Иррациональное уравнение — уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня. Например, в уравнении √(x + 1) = 3 переменная x находится под знаком квадратного корня. Это определение помогает сразу заметить, что перед решением нужно проверить допустимость выражения под корнем.
Область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменной, при которых все выражения уравнения имеют смысл. Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным: например, для √(x − 2) нужно x − 2 ≥ 0. ОДЗ ограничивает список возможных корней ещё до вычислений.
Посторонний корень — значение, полученное при преобразованиях, но не удовлетворяющее исходному уравнению. Он может появиться, например, после возведения обеих частей в квадрат. Проверка позволяет не включить такое значение в ответ.
Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество корней. Переход между ними не меняет ответ, если выполнены необходимые условия преобразования. Это понятие помогает различать безопасные шаги решения и те, после которых требуется проверка.
Сначала находят ОДЗ, потому что квадратный корень существует в действительных числах только при неотрицательном подкоренном выражении. Например, из √(x − 4) следует x ≥ 4, поэтому значения меньше четырёх нельзя проверять как корни. ОДЗ не решает уравнение, а отсекает невозможные значения и подсказывает, какие условия нужно сохранять дальше.
Чтобы избавиться от одного корня, его обычно оставляют в одной части уравнения, а остальные выражения переносят в другую. Если получилось √f(x) = g(x), то левая часть неотрицательна, значит, дополнительно нужно g(x) ≥ 0. После этого возводят обе части в квадрат и получают f(x) = g(x)²; условие на знак помогает не потерять смысл исходного равенства.
Возведение в квадрат не всегда равносильно исходному шагу, потому что числа с разными знаками могут иметь одинаковые квадраты: 3² = (−3)². Поэтому уравнение после возведения в квадрат иногда имеет больше корней. Если обе части заранее неотрицательны, равенство их квадратов уже означает равенство самих частей; иначе лишние кандидаты нужно отсеять проверкой.
Если корни стоят в обеих частях, можно изолировать один из них, а затем повторить возведение в квадрат, когда оно необходимо. Другой удобный случай — √f(x) = √g(x): при f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0 равенство корней равносильно равенству f(x) = g(x). Условия на подкоренные выражения нужны, потому что без них исходные корни могут быть не определены.
После преобразований подставляют каждый найденный кандидат в исходное уравнение, а не только в последнее полученное. Это нужно потому, что при возведении в квадрат могли появиться значения, которых в исходном уравнении нет. В ответ записывают лишь те кандидаты, при которых обе части исходного уравнения определены и равны.
| Вид уравнения | Основной приём | Что учесть | Проверка |
|---|---|---|---|
| √f(x) = g(x) | Изолировать корень и возвести обе части в квадрат | f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0 | Подставить кандидаты в исходное уравнение |
| √f(x) = √g(x) | Приравнять подкоренные выражения | f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0 | Проверить ОДЗ и исходное равенство |
| Уравнение с несколькими корнями | Изолировать корень и повторять возведение в квадрат при необходимости | Следить за знаками и ОДЗ на каждом шаге | Проверить каждый кандидат в исходном уравнении |
Сначала найди строку, которая соответствует виду уравнения, а затем выпиши условия из столбца «Что учесть». Если возведение в квадрат пришлось повторить, проверка особенно важна. В любом случае окончательный ответ определяет подстановка в исходное уравнение.
Ответ: 8.
Ответ: 3.
Ответ: 9 − 2√13.
Если возводить в квадрат, не изолировав корень, можно потерять условие о знаке другой части и получить неверный набор кандидатов. Так поступают, когда хотят быстрее избавиться от радикала, но не проверяют смысл преобразования. Перед квадратом убедись, что корень стоит отдельно, а другая часть неотрицательна.
Равенство квадратов не всегда означает равенство самих выражений: например, 4² = (−4)², хотя 4 ≠ −4. Ошибка возникает, когда учитывают только вычисления и забывают о знаках обеих частей. Проверь, что обе части неотрицательны, прежде чем считать возведение в квадрат равносильным.
Если забыть ОДЗ, в ответ может попасть значение, при котором подкоренное выражение отрицательно. Такое случается, когда решают полученное уравнение и сразу записывают все его корни. Подставь каждый кандидат в условия для подкоренных выражений и отбрось недопустимые значения.
Не проверять корни в исходном уравнении опасно, потому что возведение в квадрат способно добавить посторонние решения. Иногда кандидат удовлетворяет полученному уравнению и ОДЗ, но исходные части при подстановке не равны. Заверши решение подстановкой в самое первое уравнение и запиши только подходящие корни.
Для решения таких уравнений нужны навыки, которые изучают раньше: нахождение области допустимых значений выражений с квадратным корнем, решение линейных уравнений и неравенств. Они помогают установить ограничения на переменную и разобраться с условиями после изоляции корня. Без этих действий легко сохранить лишнего кандидата или отбросить подходящий.
Тема связана с равносильными преобразованиями: важно понимать, какие шаги сохраняют множество корней, а после каких нужна проверка. Эти приёмы пригодятся при решении более сложных уравнений с корнями и при изучении функций, содержащих радикалы. В дальнейшем умение учитывать ОДЗ поможет правильно определять, где такие функции заданы.
Почему после возведения уравнения в квадрат могут появиться лишние корни?
При возведении в квадрат теряется информация о знаке: например, равенство квадратов возможно и для противоположных чисел. Поэтому новое уравнение может иметь решения, которые не подходят исходному. Их называют посторонними корнями.
Нужно ли проверять корень, если он удовлетворяет области допустимых значений?
Да. Область допустимых значений показывает лишь, что выражения в уравнении имеют смысл, но не гарантирует равенства его частей. Каждый кандидат нужно подставить в исходное уравнение.
Можно ли возвести в квадрат обе части, если одна из них отрицательна?
Можно получить равенство квадратов, но оно не будет равносильно исходному равенству: например, числа 2 и −2 имеют одинаковые квадраты. Перед возведением в квадрат проверьте знаки частей и убедитесь, что обе они неотрицательны.
Как понять, с какой части уравнения изолировать корень?
Обычно выбирают корень, который проще оставить в одной части, а остальные выражения перенести в другую. Перед возведением в квадрат проверьте, что изолированная часть неотрицательна, если слева стоит квадратный корень.
Когда равенство двух квадратных корней можно заменить равенством подкоренных выражений?
Когда оба подкоренных выражения неотрицательны. На этих значениях квадратный корень определён и принимает только неотрицательные значения, поэтому √f(x) = √g(x) равносильно f(x) = g(x) вместе с условиями f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0.
§ 30. Иррациональные уравнения
