§ 29. Теорема Виета

Определения и обозначения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Числа a, b и c называют коэффициентами: a — старший коэффициент, b — коэффициент при x, c — свободный член. Условие a ≠ 0 означает, что уравнение действительно содержит x². По коэффициентам можно понять, какие формулы Виета применить.

Приведённое квадратное уравнение — уравнение вида x² + px + q = 0, у которого старший коэффициент равен 1. Буквы p и q обозначают коэффициент при x и свободный член. Такое уравнение получается, если разделить все члены уравнения на старший коэффициент. Для приведённого уравнения формулы теоремы Виета проще.

Корни квадратного уравнения — значения переменной, при подстановке которых уравнение превращается в верное равенство. Например, если при x = 2 левая часть равна нулю, то 2 — корень. У уравнения могут быть два корня, один корень или не быть действительных корней. Проверка подстановкой помогает убедиться, что найденное значение подходит.

Теорема Виета — утверждение, связывающее сумму и произведение корней квадратного уравнения с его коэффициентами. Для ax² + bx + c = 0 сумма корней равна −b/a, а произведение — c/a. Для приведённого уравнения сумма равна −p, произведение — q. Теорема позволяет работать с корнями, не находя их сначала по формуле дискриминанта.

Как это устроено

Пусть квадратное уравнение имеет корни x₁ и x₂. Тогда при x = x₁ и при x = x₂ его левая часть обращается в ноль, поэтому квадратный трёхчлен можно разложить на множители: a(x − x₁)(x − x₂) = 0. Число a сохраняется, потому что исходный трёхчлен начинается с ax², а произведение двух скобок начинается с x². Такая запись показывает связь между корнями и исходным уравнением.

Чтобы увидеть эту связь, раскроем скобки: a(x − x₁)(x − x₂) = a(x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂). После умножения на a получаем ax² − a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂. Сравнивая коэффициенты с ax² + bx + c, получаем −a(x₁ + x₂) = b и ax₁x₂ = c. Деление на a даёт формулы Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a.

У приведённого уравнения x² + px + q = 0 старший коэффициент равен 1, то есть a = 1, b = p и c = q. Поэтому делить коэффициенты на a не нужно: сумма корней равна −p, а произведение — q. Например, если p = −7 и q = 10, корни должны в сумме дать 7 и в произведении 10. Так формулы превращают решение уравнения в подбор подходящей пары чисел.

Проверяя предполагаемую пару, сначала можно сравнить её сумму и произведение с формулами Виета. Если хотя бы одно из условий не выполняется, пара не может быть корнями данного уравнения. Но совпадение суммы и произведения ещё не заменяет окончательную проверку: подставь каждое число в исходное уравнение. Так ты убедишься, что не ошибся в вычислениях или в выборе уравнения.

Теорему можно применять и в обратном направлении. Если два числа имеют сумму S и произведение P, то для них составляют приведённое уравнение x² − Sx + P = 0. При раскрытии скобок оно превращается в (x − x₁)(x − x₂) = 0, поэтому заданные числа будут его корнями. Здесь особенно важно не перепутать знаки: коэффициент при x противоположен сумме корней, а свободный член равен произведению.

Связь коэффициентов квадратного уравнения с его корнями

Сначала определи, к какой строке относится уравнение: у приведённого старший коэффициент равен 1. Затем найди соответствующие сумму и произведение корней. Если уравнение неприведённое, используй первую строку или сначала раздели все коэффициенты на a.

Разбор задач

Найти сумму и произведение корней

Не решая уравнение x² − 7x + 10 = 0, найдите сумму и произведение его корней. Уравнение уже приведённое, поэтому можно использовать упрощённые формулы Виета. Коэффициент p равен −7, а q равен 10. На этом шаге корни находить не требуется.

1. Сравним уравнение с видом x² + px + q = 0: p = −7, q = 10. Это помогает не потерять знак коэффициента при x.

2. По теореме Виета сумма корней равна −p, то есть −(−7) = 7. Произведение равно q, то есть 10.

Ответ: сумма корней равна 7, произведение — 10.

Найти корни подбором

Найдите корни уравнения x² − 9x + 20 = 0, используя теорему Виета. Сначала определим, какими должны быть сумма и произведение: по знаку перед x сумма корней равна 9, а свободный член задаёт произведение 20. Теперь нужно подобрать два числа, которые удовлетворяют обоим условиям. Перебор пар множителей числа 20 помогает сделать это без случайных догадок.

1. Запишем условия: x₁ + x₂ = 9 и x₁x₂ = 20. Положительное произведение и положительная сумма подсказывают, что подойдут два положительных числа.

2. Пары положительных множителей 20 — 1 и 20, 2 и 10, 4 и 5. Только 4 и 5 дают сумму 9.

3. Проверим подстановкой: 4² − 9 · 4 + 20 = 0, и 5² − 9 · 5 + 20 = 0. Оба значения действительно обращают уравнение в верное равенство.

Ответ: корни уравнения — 4 и 5.

Составить уравнение по корням

Составьте приведённое квадратное уравнение, корни которого равны −2 и 5. Для приведённого уравнения коэффициент при x противоположен сумме корней, а свободный член равен их произведению. Поэтому сначала найдём эти два числа, не пытаясь угадать коэффициенты. Затем подставим результаты в формулу x² − Sx + P = 0.

1. Находим сумму корней: S = −2 + 5 = 3. Значит, коэффициент при x будет равен −3.

2. Находим произведение: P = (−2) · 5 = −10. Это будет свободный член уравнения.

3. Подставляем значения в формулу: x² − 3x − 10 = 0. Раскрытие скобок в (x + 2)(x − 5) даёт то же уравнение.

Ответ: x² − 3x − 10 = 0.

Типичные ошибки

Иногда сумму корней записывают как b/a, забывая минус. Ошибка возникает из-за того, что смотрят только на коэффициент при x и не учитывают знак перед суммой в раскрытых скобках. Чтобы проверить себя, раскрой скобки в a(x − x₁)(x − x₂): коэффициент при x получится −a(x₁ + x₂). Поэтому сумма равна −b/a.

Формулы для приведённого уравнения применяют к неприведённому, не разделив коэффициенты на a. Тогда числа p и q принимают за b и c, хотя это разные коэффициенты. Перед вычислением проверь, равен ли коэффициент при x² единице. Если нет, раздели каждый член уравнения на a или воспользуйся общими формулами.

Ещё одна ошибка — путать сумму корней с произведением. Сумма связана с коэффициентом при x и содержит минус, а произведение — со свободным членом. Путаница часто появляется, когда пытаются запомнить формулы как один набор чисел. Для самопроверки выпиши отдельно две пары: сумма и коэффициент при x; произведение и свободный член.

Наконец, найденную пару чисел иногда сразу объявляют корнями, заметив подходящие сумму и произведение. Так можно пропустить неверный знак или вычислительную ошибку, а также применить формулы не к тому уравнению. Сначала проверь оба условия Виета, затем подставь каждое число в исходную запись. Только если равенство верно, число является корнем.

Связь с другими темами

Чтобы пользоваться теоремой Виета, нужно уметь определять коэффициенты квадратного уравнения и приводить его к виду x² + px + q = 0. Разложение квадратного трёхчлена на множители объясняет, почему уравнение можно записать через его корни. Здесь также пригодится правило: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю. Теорема Виета помогает решать квадратные уравнения подбором, составлять уравнения по корням и проверять найденные решения.

Что запомнить

• Для ax² + bx + c = 0 сумма корней равна −b/a.
• Для ax² + bx + c = 0 произведение корней равно c/a.
• Для x² + px + q = 0 сумма корней равна −p.
• Для x² + px + q = 0 произведение корней равно q.
• Перед применением упрощённых формул уравнение нужно привести к виду с единичным старшим коэффициентом.
• Теорема Виета связывает корни уравнения с его коэффициентами.