§ 27. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — уравнение, в котором неизвестное входит в знаменатель хотя бы одной дроби. Например, 180 / x = 4 — рациональное уравнение, потому что x стоит в знаменателе. Такие уравнения возникают, когда одну величину находят делением другой на неизвестную.

Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения неизвестного, при которых знаменатели выражений не равны нулю. Делить на нуль нельзя, поэтому значения, обращающие знаменатель в нуль, сразу исключают. ОДЗ показывает, какие числа вообще можно рассматривать при решении.

Корень рационального уравнения — значение неизвестного из ОДЗ, превращающее уравнение в верное равенство. Недостаточно, чтобы число получилось после преобразований: оно должно подходить исходной записи. Поэтому найденные значения проверяют с учётом ограничений на знаменатели.

Математическая модель — уравнение или система отношений, описывающие количественные связи реальной ситуации. Чтобы её составить, задачу переводят с обычного языка на математический: выбирают неизвестное и выражают через него другие величины. Модель позволяет найти ответ вычислением, но затем результат нужно сопоставить с условием.

Как это устроено

Сначала прочитай условие и выбери неизвестное: обычно это величина, которую просят найти, — скорость, время, масса или число дней. Запиши рядом, что означает переменная и в каких единицах она измеряется. Затем вырази остальные величины через неё, опираясь на известные связи: время равно расстоянию, делённому на скорость, а время работы — объёму работы, делённому на производительность. Так отношения из условия превращаются в уравнение.

ОДЗ нужно находить до преобразований, потому что знаменатель не может быть равен нулю. Приравняй каждый знаменатель к нулю и исключи полученные значения переменной. Если сделать это только после умножения на общий знаменатель, исходные дроби уже исчезнут, а запрещённое значение может показаться обычным корнем. Поэтому ОДЗ сопровождает решение от начала до конца.

Чтобы избавиться от дробей, умножь обе части уравнения на общий знаменатель — выражение, которое делится на каждый знаменатель. Такое преобразование удобно, потому что после сокращения дробей часто получается линейное или квадратное уравнение. Но умножать можно только при условии, что общий знаменатель не равен нулю; именно это обеспечивается ОДЗ. После решения не забывай раскрыть скобки во всех слагаемых, на которые распространяется умножение.

Преобразованное уравнение может иметь корни, которых не было в исходном, поэтому подставь найденные значения в первоначальную запись. Если знаменатель становится нулём или равенство не выполняется, такой корень исключают. Затем проверь смысл оставшихся чисел в задаче: отрицательное время, невозможная скорость или масса не дают реального ответа. В ответ запиши только подходящее значение с единицей измерения.

Этапы решения текстовой задачи с помощью рационального уравнения

Пользуйся таблицей как планом: переходи к следующему этапу, когда проверил предыдущий. Особенно внимательно отмечай ОДЗ и смысл полученных корней. В конце ответь именно на вопрос задачи и укажи единицы измерения.

Разбор задач

Автомобиль и изменение скорости

Автомобиль проехал 180 км с некоторой скоростью. Если увеличить скорость на 15 км/ч, время в пути уменьшится на 1 час. Нужно найти первоначальную скорость. Обозначим её через x км/ч; скорость после увеличения будет x + 15 км/ч. Время находим делением расстояния на скорость, поэтому в модели появятся дроби.

1. Первоначальная скорость положительна, поэтому x ≠ 0, а также x + 15 ≠ 0. Для условия задачи достаточно взять x > 0.
2. Первоначальное время равно 180 / x часов, новое — 180 / (x + 15) часов. По условию разность времён составляет 1 час: 180 / x − 180 / (x + 15) = 1.
3. Умножим обе части на x(x + 15), который не равен нулю при допустимом x. Получим 180(x + 15) − 180x = x(x + 15), то есть x² + 15x − 2700 = 0.
4. Квадратное уравнение имеет корни 45 и −60. Отрицательное значение не подходит условию x > 0. Проверка: при 45 км/ч времена равны 4 и 3 часа, их разность — 1 час.

Ответ: первоначальная скорость автомобиля — 45 км/ч.

Совместная работа

Один рабочий выполняет заказ на 6 дней быстрее другого, а вместе они справляются за 8 дней. Обозначим через x число дней, за которое медленный рабочий выполняет весь заказ один. Тогда быстрый затратил бы x − 6 дней. Число дней должно быть положительным, поэтому x > 6.

1. Примем весь заказ за 1. Производительность медленного рабочего равна 1 / x заказа в день, быстрого — 1 / (x − 6).
2. Вместе за день они выполняют 1 / 8 заказа. Поэтому составляем уравнение: 1 / x + 1 / (x − 6) = 1 / 8.
3. Общий знаменатель x(x − 6) не равен нулю по ОДЗ. После умножения получаем 8(x − 6) + 8x = x(x − 6), или x² − 22x + 48 = 0.
4. Корни уравнения: x = 11 ± √73. Значение 11 − √73 меньше 6 и не подходит ОДЗ; остаётся x = 11 + √73. Быстрый рабочий затратит на 6 дней меньше.

Ответ: медленный рабочий выполнит заказ за 11 + √73 дня, быстрый — за 5 + √73 дня (примерно 19,5 и 13,5 дня). Дробные значения допустимы: речь идёт о длительности работы, а не о числе целых рабочих дней.

Сплавы и концентрация

В 20 кг сплава содержится 30% меди; к нему добавляют сплав другой концентрации. Чтобы получить нужную концентрацию, надо сохранить баланс массы меди: её количество в смеси равно сумме количества меди в каждом из двух сплавов. В условии не указаны ни концентрация добавляемого сплава, ни целевой процент, поэтому численный ответ найти нельзя. Задачу можно записать в общем виде, обозначив эти проценты.

1. Пусть x кг — масса добавляемого сплава, c% — содержание меди в нём, p% — требуемая концентрация смеси. Масса меди в исходном сплаве равна 20 · 0,30 = 6 кг.
2. После смешивания общая масса равна 20 + x, а масса меди — 6 + (c / 100)x. Доля меди в новой смеси должна равняться p / 100.
3. Составим уравнение: (6 + (c / 100)x) / (20 + x) = p / 100. Знаменатель не должен быть нулём, а для реальной массы требуется x ≥ 0.
4. После решения проверяют, что найденная масса удовлетворяет ограничениям и действительно даёт целевой процент. Без значений c и p можно получить только такую модель, но не конкретное число килограммов.

Ответ: для численного ответа нужны концентрация добавляемого сплава и требуемый процент меди.

Типичные ошибки

Если не найти ОДЗ до преобразований, можно принять за ответ значение, при котором знаменатель исходного уравнения равен нулю. Так происходит потому, что умножение на общий знаменатель убирает дроби и скрывает запрет. Проверь каждый знаменатель отдельно до решения, а затем сравни корни с выписанными ограничениями.

В задачах на движение путают скорость и время, а в задачах на работу — производительность и срок выполнения. Причина обычно в том, что дробь записывают по памяти, не связывая её с вопросом задачи. Проверь формулу на единицах: расстояние / скорость даёт время, а объём работы / производительность — время работы.

При умножении на общий знаменатель иногда раскрывают скобки не для всех слагаемых. Тогда получается уже другое уравнение, хотя действие кажется обычным сокращением дробей. Подставь в исходную запись простое допустимое значение или повтори умножение по каждому слагаемому отдельно, следя за скобками.

Нельзя записывать ответ сразу после нахождения корня уравнения. Число может нарушать ОДЗ, иметь неподходящие единицы или означать невозможное отрицательное время, скорость либо количество. Подстановка в исходное уравнение и отдельная проверка смысла величины помогают обнаружить такую ошибку.

Связь с другими темами

Для решения нужны свойства дробей, преобразование рациональных выражений, а также умение решать линейные и квадратные уравнения. Рациональные модели продолжают знакомые текстовые задачи на движение, совместную работу и смеси: в них величины связаны отношениями и долями. Этот способ пригодится при изучении систем уравнений, неравенств и прикладных задач на проценты и зависимости величин.

Что запомнить

• Сначала выбери неизвестное и укажи его смысл.
• Рациональное уравнение содержит неизвестное в знаменателе.
• ОДЗ находят до преобразований уравнения.
• Общий знаменатель нельзя приравнивать к нулю.
• После решения нужно проверить корни в исходном уравнении.
• В ответ включают только значения, имеющие смысл в условии задачи.
• Математическая модель должна сохранять связи между величинами из реальной ситуации.