§ 28. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — уравнение, в котором переменная входит в числитель или знаменатель рациональных выражений. В целом уравнении переменная не стоит в знаменателе, а в рациональном это возможно, поэтому приходится отдельно следить, чтобы знаменатель не стал нулём. Такие уравнения помогают описывать ситуации, где величины связаны отношением.

Область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменной, при которых все знаменатели уравнения не равны нулю. Например, в выражении 1/(x − 4) значение x = 4 запрещено. ОДЗ нужно записать до решения, чтобы не использовать значения, при которых исходное уравнение не определено.

Математическая модель — описание реальной ситуации с помощью переменных, формул и уравнений. Например, формула «время = расстояние / скорость» связывает три величины и позволяет составить уравнение по условию задачи. Модель упрощает ситуацию до тех отношений, которые нужны для ответа.

Корень рационального уравнения — допустимое значение переменной, при котором уравнение становится верным равенством. Число должно не только получаться при решении, но и принадлежать ОДЗ. В задаче его дополнительно сравнивают с условиями реальной ситуации.

Как это устроено

Сначала выбери переменную и назови, что именно она обозначает: скорость, время, расстояние или срок выполнения работы. Удобно выбирать величину, через которую остальные данные выражаются коротко, например скорость более быстрого автомобиля, если скорость второго отличается на известное число. Запиши единицы измерения, чтобы не смешать, например, километры и часы. Такая запись помогает заметить, верно ли составлены дальнейшие формулы.

Ограничения появляются по двум причинам. Условие может требовать, чтобы скорость или время были положительными, а знаменатель в уравнении не мог равняться нулю. Например, если знаменатель — x − 3, то x ≠ 3; если x обозначает скорость лодки в стоячей воде, а течение равно 3 км/ч, то ещё требуется x > 3, чтобы лодка могла двигаться против течения. Эти условия записывают до решения.

Уравнение строят из связи между величинами, указанной в задаче. Для движения время находят делением расстояния на скорость, поэтому при фиксированном расстоянии возникает дробь. В задачах на работу срок сам по себе не складывают: если исполнитель делает задание за x дней, его производительность равна 1/x задания за день. При совместной работе складываются части задания, выполненные каждым за день.

Чтобы решить рациональное уравнение, часто умножают обе части на общий знаменатель и получают целое уравнение. Например, в равенстве с дробями 1/x и 1/(x + 3) общий знаменатель содержит x и x + 3. При умножении нужно домножить каждый член обеих частей на весь общий знаменатель, а не только дроби. Преобразование упрощает вычисления, но не отменяет первоначальных ограничений.

После решения вернись к исходному уравнению: подставь найденные значения и исключи те, которые нарушают ОДЗ. Затем проверь смысл числа в задаче: отрицательное время или скорость обычно невозможны, а слишком малый срок может противоречить данным. Корень, прошедший обе проверки, переведи в ответ с нужными единицами измерения. Так математическое решение превращается в ответ на исходный вопрос.

Этапы построения и проверки математической модели

Пользуйся таблицей как маршрутом: переходи к следующему этапу, только когда проверил предыдущий. Особенно внимательно сравнивай ОДЗ с ограничениями из условия задачи. В конце убедись, что ответ отвечает именно на вопрос и записан в нужных единицах.

Разбор задач

Совместная работа

Два рабочих вместе выполняют задание за 2 дня. Первый один выполнил бы его за x дней, второй — за x + 3 дня. Нужно составить уравнение и найти возможные сроки. Обозначим через x срок первого рабочего, тогда производительности равны 1/x и 1/(x + 3) задания в день. Сроки положительны, а знаменатели не равны нулю: x > 0, x ≠ 0, x ≠ −3.

1. За один день вместе выполняют 1/2 задания, поэтому составляем уравнение: 1/x + 1/(x + 3) = 1/2.
2. ОДЗ: x ≠ 0 и x ≠ −3; по смыслу также x > 0. Умножаем обе части на 2x(x + 3): 2(x + 3) + 2x = x(x + 3).
3. После упрощения получаем x² − x − 6 = 0, откуда (x − 3)(x + 2) = 0. Корни: 3 и −2; отрицательный срок не подходит, остаётся x = 3.

Ответ: первый рабочий выполнил бы задание за 3 дня, второй — за x + 3 = 6 дней. Проверка смысла проста: их дневные производительности 1/3 и 1/6 складываются в 1/2 задания. Значит, вместе они действительно справляются за 2 дня.

Движение автомобилей

Расстояние между пунктами равно 180 км. Автомобиль со скоростью x км/ч проходит его на 1 час дольше, чем автомобиль со скоростью x + 15 км/ч. Обозначим меньшую скорость через x; обе скорости должны быть положительными, значит x > 0. Время каждого автомобиля выражается делением 180 км на его скорость.

1. Время медленного автомобиля равно 180/x часов, быстрого — 180/(x + 15) часов. По условию разность времён составляет один час: 180/x − 180/(x + 15) = 1.
2. ОДЗ: x ≠ 0 и x ≠ −15, а по смыслу x > 0. Умножаем обе части на x(x + 15): 180(x + 15) − 180x = x(x + 15).
3. Получаем x² + 15x − 2700 = 0. Его корни: x = 45 и x = −60; второй корень не подходит, поскольку скорость не может быть отрицательной.

Ответ: меньшая скорость равна 45 км/ч, большая — 60 км/ч. При этих скоростях времена пути равны 4 и 3 часам, их разность действительно составляет один час. Проверка подтверждает и уравнение, и смысл найденного значения.

Движение лодки

Лодка прошла 24 км по течению и столько же против течения; против течения она шла на 2 часа дольше. Скорость течения — 3 км/ч, а x обозначает собственную скорость лодки. Тогда скорости лодки по течению и против течения равны x + 3 и x − 3 км/ч. Чтобы лодка могла идти против течения, требуется x > 3.

1. Время пути по течению равно 24/(x + 3), а против течения — 24/(x − 3). Составляем уравнение по разности времён: 24/(x − 3) − 24/(x + 3) = 2.
2. Знаменатели не равны нулю при x ≠ 3 и x ≠ −3; условие x > 3 уже исключает оба значения. Умножаем обе части на (x − 3)(x + 3): 24(x + 3) − 24(x − 3) = 2(x² − 9).
3. После упрощения получаем x² = 81, поэтому x = 9 или x = −9. Условию x > 3 удовлетворяет только x = 9.

Ответ: собственная скорость лодки — 9 км/ч. Тогда скорость против течения равна 6 км/ч, а по течению — 12 км/ч; времена составляют 4 и 2 часа. Разность равна двум часам, как и требуется.

Типичные ошибки

Забывают указать ОДЗ и подставляют значение, при котором знаменатель равен нулю. Обычно так происходит, когда сразу начинают решать уравнение, не посмотрев на дроби; проверь каждый знаменатель и запиши его запрет до преобразований. Такая подстановка в исходное уравнение недопустима.

При умножении на общий знаменатель домножают не каждый член уравнения. Из-за этого меняется само уравнение, хотя кажется, что дроби просто убрали; раскрой умножение по членам слева и справа. Для самопроверки подставь любое допустимое значение в запись до и после преобразования: равенства должны быть равносильны.

Сохраняют все корни преобразованного уравнения, не проверяя их в исходном. При умножении на выражения со знаменателями могут появиться значения, запрещённые в первоначальной записи; проверь корни подстановкой и сверь с ОДЗ. Только прошедшие эту проверку числа можно рассматривать дальше.

Записывают в ответ отрицательные время, скорость или количество работы. Такие числа иногда действительно получаются как корни уравнения, но противоречат смыслу величин; проверяй не только вычисления, но и условие задачи. Если число практически невозможно, исключи его и объясни это в решении.

Связь с другими темами

Для решения рациональных уравнений нужны действия с дробными выражениями, разложение на множители, нахождение ОДЗ и решение квадратных уравнений. Составлять модели помогают знакомые задачи на движение, совместную работу, производительность и проценты. Позже этот способ пригодится при изучении дробно-рациональных функций, систем уравнений и математического моделирования. Навык переводить условие в формулы полезен и в задачах из других предметов.

Что запомнить

• Сначала выбирают переменную и описывают её смысл.
• ОДЗ учитывает запрет на нулевые знаменатели и ограничения самой ситуации.
• В задачах на движение время находят как расстояние, делённое на скорость.
• В задачах на совместную работу складывают производительности, а не времена.
• После умножения на общий знаменатель проверяют все найденные корни.
• Ответ должен соответствовать вопросу и содержать подходящие единицы измерения.