"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Линейное неравенство помогает определить, при каких значениях переменной одно выражение больше или меньше другого. Его решение — не обязательно одно число: чаще это целый промежуток. Чтобы найти его, упрощают обе части и выделяют переменную, соблюдая правила преобразований. Особенно важно менять знак неравенства при делении на отрицательное число и проверять, не исчезла ли переменная.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное неравенство с одной переменной — неравенство, которое после упрощения можно привести к виду ax + b > 0 или к такому же виду с одним из знаков <, ≥, ≤. Здесь a и b — числа, а x — переменная. Например, 2x − 6 < 0 линейное: выражение уже состоит из слагаемого с x и числа. Это определение помогает распознать задачи, которые можно решить одинаковым способом.
Решение неравенства — значение переменной, при подстановке которого неравенство становится верным. Например, x = 2 — решение неравенства x < 5, потому что 2 меньше 5. А x = 7 ему не подходит. Проверка подстановкой помогает убедиться, что найденное значение действительно удовлетворяет условию.
Множество решений неравенства — все значения переменной, которые являются его решениями. Его можно записать неравенством, например x ≥ 3, или числовым промежутком [3; +∞). Квадратная скобка показывает, что число 3 входит в ответ, а знак бесконечности всегда записывают с круглой скобкой. Такое описание удобно, когда решений не одно, а бесконечно много.
Равносильные неравенства — неравенства с одним и тем же множеством решений. Например, 2x > 6 и x > 3 равносильны: оба выполняются при всех x, больших 3. Преобразования при решении должны сохранять равносильность, чтобы ответ исходного неравенства не потерялся и не изменился.
К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число или вычесть его, не меняя знак сравнения. Причина в том, что прибавление одинакового числа сдвигает оба числа на числовой прямой на одинаковое расстояние и сохраняет их порядок. Например, если x − 3 < 5, прибавим 3 к обеим частям: x < 8. Значение x не изменилось, а выражение стало проще.
Умножение и деление работают по-разному в зависимости от знака числа. При умножении на положительное число порядок чисел сохраняется, поэтому знак неравенства остаётся прежним: из 2 < 5 следует 2 · 3 < 5 · 3. При умножении на отрицательное число числа меняются местами на числовой прямой: −2 > −5. Поэтому при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак необходимо поменять на противоположный.
Перенос слагаемого через знак неравенства — короткая запись прибавления противоположного числа к обеим частям. Например, в неравенстве x − 3 < 5 число −3 можно убрать, прибавив к обеим частям 3. В результате слагаемое в другой части записывается как +3, а знак сравнения остаётся прежним. Значит, при переносе меняется знак самого слагаемого, а не знак неравенства.
Обычно преобразования продолжают, пока не получится условие вида x > a, x < a, x ≥ a или x ≤ a. Такое решение сразу показывает, какие числа подходят, а запись промежутком наглядно отмечает включение или исключение границы. Например, x > 3 соответствует промежутку (3; +∞), а x ≤ 3 — промежутку (−∞; 3]. Знак бесконечности обозначает, что промежуток продолжается без конца в нужную сторону.
Перед делением стоит выяснить, чему равен коэффициент при переменной: он может оказаться нулём. Тогда переменная исчезает, и вместо неравенства с x получается числовое утверждение, например −2 < 2 или 4 < 1. Первое верно при любом x, потому что x в нём больше нет; второе неверно при любом x. Поэтому в первом случае решением становятся все числа, а во втором решений нет.
Пользуйтесь таблицей как напоминанием о том, сохраняется ли знак сравнения при каждом действии. Перед преобразованием определите, какое число или выражение нужно убрать, а перед делением проверьте знак делителя. После решения сверяйте ответ с видом промежутка: это помогает не включить лишнюю граничную точку.
| Действие с обеими частями | Что происходит со знаком | Пример преобразования |
|---|---|---|
| Прибавить или вычесть одно и то же число | Знак сохраняется | x − 3 < 5 → x < 8 |
| Умножить или разделить на положительное число | Знак сохраняется | 2x > 6 → x > 3 |
| Умножить или разделить на отрицательное число | Знак меняется на противоположный | −2x > 6 → x < −3 |
| Упростить обе части и собрать слагаемые с переменной | Само преобразование знак не меняет; при делении на отрицательный коэффициент знак меняется | 3x + 1 < x + 7 → 2x < 6 → x < 3 |
Задача 1. Решите неравенство 3x − 5 < 7. Нужно оставить слагаемое с x в одной части, а числа — в другой. Сначала уберём −5, прибавив 5 к обеим частям, затем разделим на коэффициент при x. Он положительный, поэтому знак сравнения не меняется.
Ответ: x < 4, или (−∞; 4). Например, x = 3 подходит, а x = 4 — нет. Это согласуется со знаком < в исходном условии.
Задача 2. Решите неравенство 4 − 3x ≥ 10. Сначала уберём число 4, вычтя его из обеих частей. После этого коэффициент при x будет отрицательным, поэтому при делении на него знак обязательно изменится. Полученную границу включим в ответ, поскольку исходный знак неравенства нестрогий.
Ответ: x ≤ −2, или (−∞; −2]. Проверка границы даёт 4 − 3 · (−2) = 10, то есть получается равенство, которое допустимо при знаке ≥. Число меньше −2, например −3, тоже удовлетворяет неравенству.
Задача 3. Решите неравенство 2(3x − 1) − 4x < 2(x + 1). Здесь перед поиском ответа нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. После упрощения проверим, остаётся ли переменная. Если её коэффициенты окажутся одинаковыми, можно вычесть одинаковые выражения из обеих частей и проверить числовое неравенство.
Ответ: решением является любое число, или промежуток (−∞; +∞). Переменная исчезла, потому что её коэффициенты в левой и правой частях совпали. Последнее неравенство верно независимо от x, поэтому ограничений на переменную нет.
При делении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак, потому что деление воспринимают как обычное сокращение коэффициента. Но отрицательное число меняет порядок значений: например, из 2 < 5 получается −2 > −5. Чтобы проверить себя, отдельно отметьте знак делителя перед делением; если он отрицательный, обязательно переверните знак неравенства.
При переносе слагаемого часто меняют знак сравнения вместе со знаком слагаемого. Это происходит из-за того, что две операции запоминают как одну. На самом деле к обеим частям прибавляют противоположное слагаемое, поэтому меняется только его знак. Проверка простая: запишите действие с обеими частями — оно покажет, что знак неравенства остался прежним.
Иногда считают, что любое решение обязательно имеет конечную границу, потому что привыкли получать ответ вида x > a. Однако коэффициент при x может оказаться нулём, и тогда получится числовое неравенство. Подставлять значения x в него уже не нужно: проверьте, верно ли числовое утверждение, и ответьте соответственно «любое x» или «решений нет».
Ещё одна ошибка — неверно включить граничное значение в ответ. Её легко допустить, если переписать найденную границу в промежуток, не сверив знак неравенства. Для < и > границу исключают, для ≤ и ≥ включают. В конце сопоставьте знак у найденного x с круглой или квадратной скобкой около границы.
Для решения линейных неравенств нужны умения работать с числовыми неравенствами, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Без этих действий выражение может выглядеть сложнее, чем оно есть, а ошибки при упрощении приведут к неверной границе ответа. Поэтому перед выделением переменной удобно сначала аккуратно упростить обе части.
Линейные неравенства пригодятся при решении систем неравенств, где нужно найти значения, удовлетворяющие нескольким условиям сразу. Ещё их используют в задачах, чтобы определить допустимые значения переменной: например, ограничения на количество, время или длину. Тогда ответом может быть не одно число, а целый промежуток возможных значений.
Почему при делении на отрицательное число нужно менять знак неравенства?
Умножение или деление на отрицательное число меняет порядок чисел на числовой прямой. Например, из 2 < 5 следует −2 > −5, поэтому знак сравнения нужно перевернуть.
Меняется ли знак неравенства, когда слагаемое переносят в другую часть?
Нет, знак неравенства сохраняется. При переносе слагаемое меняет знак, потому что к обеим частям прибавляют противоположное ему число.
Что делать, если после упрощения переменная исчезла?
Получится числовое неравенство, которое нужно проверить. Если оно верно, решением будет любое число; если неверно — решений нет.
Как записать решение неравенства числовым промежутком?
Например, условие x > 3 записывают как (3; +∞), а x ≤ 3 — как (−∞; 3]. Круглая скобка означает, что граница не входит в промежуток, квадратная — что входит.
Как понять, включается ли граничное значение в ответ?
При строгих знаках < и > граничное значение не включается, поэтому в записи промежутка используют круглую скобку. При знаках ≤ и ≥ граница включается, и около неё ставят квадратную скобку.
§ 29. Линейные неравенства
