"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Квадратное неравенство содержит квадрат переменной и после преобразований сводится к сравнению выражения ax² + bx + c с нулём, где a ≠ 0. Такие неравенства помогают находить значения переменной, при которых выражение положительно или отрицательно. Основной способ решения — метод интервалов: находят корни трёхчлена, определяют его знак между корнями и выбирают промежутки, подходящие знаку неравенства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное неравенство — неравенство, которое после преобразований можно записать в виде ax² + bx + c > 0 или с другим знаком: <, ≥, ≤. Здесь x — переменная, a, b, c — числа, причём a ≠ 0. В обеих частях исходного неравенства могут быть числа, переменные и выражения с переменной; их переносят так, чтобы в одной части осталось 0. Это сводит задачу к исследованию знака одного трёхчлена.
Решение квадратного неравенства — значение переменной, при котором неравенство становится верным; решением неравенства называют множество всех таких значений. Например, если подходят все числа между двумя точками, ответ записывают промежутком. Это определение помогает понимать, что нужно найти не отдельный корень уравнения, а все допустимые значения x.
Метод интервалов — способ решать неравенства, отмечая нули выражения на числовой прямой и определяя знак на промежутках между ними. Нулями квадратного трёхчлена являются значения x, при которых он равен нулю. Они разделяют прямую на участки, на каждом из которых знак выражения постоянен. Поэтому достаточно узнать знаки на этих участках и выбрать нужные.
Сначала все слагаемые переносят в одну часть, а другую делают равной нулю. Например, из сравнения двух выражений получают ax² + bx + c > 0. При обычном переносе меняется знак переносимого слагаемого, но знак неравенства сохраняется: это то же самое, что прибавить или вычесть одинаковое выражение из обеих частей. Знак неравенства меняют только при умножении или делении обеих частей на отрицательное число.
Чтобы узнать, где трёхчлен равен нулю, решают уравнение ax² + bx + c = 0. Число его действительных корней зависит от дискриминанта D = b² − 4ac: при D > 0 корней два, при D = 0 один, а при D < 0 действительных корней нет. Корни важны потому, что именно в них выражение может стать нулём и перейти от положительного значения к отрицательному или наоборот. Между такими точками непрерывный квадратный трёхчлен знак не меняет.
Если корней два, числовая прямая делится на три промежутка. На крайних промежутках знак трёхчлена совпадает со знаком a: при a > 0 он положителен, при a < 0 отрицателен. Между корнями знак противоположный, потому что парабола при положительном a направлена вверх, а при отрицательном — вниз. Поэтому сначала смотрят на старший коэффициент, а затем отмечают противоположный знак между корнями.
После определения знаков выбирают те промежутки, где выражение имеет знак, указанный в неравенстве. Для x² − 5x + 6 ≥ 0, например, подходят участки с положительным или нулевым значением. В точках-корнях трёхчлен равен нулю, поэтому их включают при знаках ≤ и ≥. При строгих знаках < и > равенство нулю не подходит, и корни в ответ не входят.
Если D < 0, выражение не обращается в ноль и знак на всей прямой одинаков: он определяется коэффициентом a. При D = 0 имеется один двойной корень, и знак по обе стороны от него не меняется. Однако в самой точке трёхчлен равен нулю, поэтому её учитывают при нестрогом неравенстве. Такой разбор позволяет решить задачу и без рисунка графика.
| Условие | Корни трёхчлена | Знак при a > 0 | Знак при a < 0 |
|---|---|---|---|
| D > 0: два корня | x₁ < x₂ | Положителен вне корней, отрицателен между ними | Отрицателен вне корней, положителен между ними |
| D = 0: один корень | x₀ | Положителен при x ≠ x₀, равен нулю при x₀ | Отрицателен при x ≠ x₀, равен нулю при x₀ |
| D < 0: действительных корней нет | Нет | Положителен при всех x | Отрицателен при всех x |
Сначала найди строку, соответствующую дискриминанту, затем выбери столбец по знаку a. Получив знаки на промежутках, оставь те, которые подходят неравенству. Не забудь проверить, нужно ли включать точки-корни.
Ответ: x ∈ (−∞; 2) ∪ (3; +∞).
Ответ: x ∈ [−½; 2].
Ответ: решений нет.
При переносе слагаемых иногда меняют знак неравенства. Это путают с правилом умножения на отрицательное число: при переносе знак меняется у слагаемого, а не у знака сравнения. Проверь себя, представив перенос как прибавление противоположного выражения к обеим частям.
Другая ошибка — выбирать промежутки только по расположению корней, не учитывая знак старшего коэффициента. Между корнями знак действительно противоположен знаку a, а снаружи совпадает с ним. Чтобы проверить ответ, подставь любое удобное число из выбранного промежутка в трёхчлен.
Можно ошибиться и с включением корней: их включают в строгом неравенстве или исключают в нестрогом. Причина в том, что забывают: в корне выражение равно нулю. Сверь знак в условии: знаки ≥ и ≤ допускают равенство, а > и < — нет.
Наконец, при D < 0 не всегда получается положительный трёхчлен. Отсутствие корней означает лишь, что знак не меняется; он зависит от a. Если a < 0, выражение отрицательно при всех x, поэтому проверь старший коэффициент до выбора ответа.
Для решения квадратных неравенств нужны навыки решения квадратных уравнений, нахождения дискриминанта и корней трёхчлена: эти корни задают границы промежутков. Также необходимо знать свойства числовых неравенств и правила равносильных преобразований, особенно правило смены знака при умножении на отрицательное число. Квадратные неравенства применяют при решении систем неравенств, исследовании функций и задачах, где требуется найти допустимые значения переменной.
Почему квадратное неравенство сначала приводят к нулю?
Так удобнее исследовать знак одного выражения, а не сравнивать два разных. Перенося слагаемые, мы получаем равносильное неравенство вида ax² + bx + c > 0 или с другим знаком.
Как понять, какие промежутки выбрать после нахождения корней?
Отметь корни на числовой прямой и определи знак трёхчлена на каждом промежутке. При двух корнях на крайних промежутках знак совпадает со знаком a, а между корнями он противоположен.
Что делать, если дискриминант отрицательный?
Действительных корней нет, поэтому знак трёхчлена не меняется. Он совпадает со знаком старшего коэффициента a при всех x: если нужно противоположное значение знака, решений нет.
Когда корни нужно включать в ответ?
Корни включают при нестрогих знаках ≥ и ≤, потому что в них трёхчлен равен нулю. При строгих знаках > и < ноль не подходит, поэтому корни исключают.
Как определить знак трёхчлена, если старший коэффициент отрицательный?
При двух корнях трёхчлен отрицателен вне корней и положителен между ними. Если корней нет, он отрицателен при всех x; если корень двойной, знак не меняется, но в самом корне выражение равно нулю.
§ 30. Квадратные неравенства
