2.5. Квадратные неравенства

Определения и обозначения

Квадратное неравенство — неравенство, одна из частей которого содержит выражение со старшей степенью переменной, равной двум. Например, x² − 5x + 6 > 0 — квадратное неравенство. Чтобы его решить, нужно выяснить, при каких x сравнение верно.

Квадратный трёхчлен — выражение вида ax² + bx + c, где a ≠ 0, а a, b и c — числа. Коэффициент a называют старшим, потому что он умножается на член с наибольшей степенью переменной. В неравенстве важно понять, где трёхчлен положителен, а где отрицателен.

Корни квадратного трёхчлена — значения x, при которых ax² + bx + c = 0. Эти значения делят числовую прямую на промежутки, а внутри каждого промежутка знак трёхчлена постоянен. Поэтому корни помогают определить, какие участки прямой подходят для решения.

Решение квадратного неравенства — множество всех значений переменной, при которых неравенство верно. Его записывают числами или промежутками на числовой прямой. Например, если подходят все x меньше 2, решение записывают как x < 2.

Как это устроено

Сначала переносят все слагаемые в одну часть, чтобы получить сравнение квадратного трёхчлена с нулём: ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0 или нестрогий вариант. При переносе слагаемое меняет знак, потому что мы прибавляем к обеим частям одно и то же число с противоположным знаком. Сам знак неравенства при этом не меняется. Он меняется только при умножении или делении обеих частей на отрицательное число.

Затем решают соответствующее уравнение ax² + bx + c = 0. Дискриминант вычисляют по формуле D = b² − 4ac: при D > 0 есть два корня, при D = 0 — один двойной корень, при D < 0 действительных корней нет. Корни важны потому, что только в них трёхчлен может стать равным нулю и перейти от положительного значения к отрицательному или наоборот. Между соседними корнями знак не меняется, так что достаточно определить его для каждого промежутка.

График функции y = ax² + bx + c — парабола: квадрат переменной задаёт её форму, а остальные слагаемые меняют расположение. Если a > 0, ветви направлены вверх; если a < 0 — вниз. Там, где график расположен выше оси x, трёхчлен положителен, а ниже оси — отрицателен. Точки пересечения графика с осью x соответствуют корням, поэтому по графику удобно увидеть, где искать решение.

При двух корнях x₁ < x₂ числовая прямая делится на три промежутка. Знак трёхчлена меняется при переходе через каждый корень, а на внешних промежутках совпадает со знаком a. Значит, при a > 0 знаки идут в порядке «+ − +», а при a < 0 — «− + −». Выбирают те промежутки, на которых знак совпадает с требованием задачи.

Наконец, нужно решить, входят ли граничные точки в ответ. При знаках > и < корни исключают: в них трёхчлен равен нулю, а ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом. При знаках ≥ и ≤ корни включают, потому что равенство нулю допускается. Если действительных корней нет, проверяют знак a: он определяет знак трёхчлена на всей числовой прямой.

Знак квадратного трёхчлена в зависимости от корней и коэффициента a

Сначала выберите строку по дискриминанту, а затем учтите знак a и требуемый знак неравенства. Для строгого неравенства точки, в которых трёхчлен равен нулю, не включают; для нестрогого их включают.

Разбор задач

Задача 1. Решите неравенство x² − 5x + 6 > 0. Нужно выяснить, где трёхчлен положителен. Так как старший коэффициент положителен, парабола направлена вверх, поэтому сначала найдём её точки пересечения с осью x. По ним можно определить промежутки нужного знака.

1. Разложим трёхчлен на множители: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Корни уравнения равны 2 и 3. Они делят числовую прямую на три промежутка.
2. Коэффициент при x² положителен, значит, знаки на промежутках — «+ − +». Неравенство строгое, поэтому точки 2 и 3 не включаем. Положительные значения получаются вне корней.

Ответ: x < 2 или x > 3.

Задача 2. Решите неравенство −x² + 4x − 3 ≥ 0. Знак неравенства нестрогий, значит, подходящие корни нужно будет включить. У трёхчлена отрицательный старший коэффициент, поэтому ветви параболы направлены вниз. Найдём корни и выберем участок, где трёхчлен неотрицателен.

1. Решим уравнение −x² + 4x − 3 = 0. Умножим обе части уравнения на −1: x² − 4x + 3 = 0, откуда (x − 1)(x − 3) = 0. Корни: 1 и 3.
2. При a < 0 знаки на промежутках «− + −», поэтому трёхчлен положителен между корнями. Так как требуется ≥ 0, включаем и сами корни: в них выражение равно нулю. Получаем замкнутый промежуток.

Ответ: 1 ≤ x ≤ 3.

Задача 3. Решите неравенство 2x² + 2x + 3 < 0. Здесь нужно выяснить, есть ли вообще участки, где трёхчлен отрицателен. Сначала проверим, имеет ли соответствующее уравнение действительные корни. Если корней нет, знак выражения на всей прямой определяется коэффициентом a.

1. Вычислим дискриминант: D = 2² − 4 · 2 · 3 = 4 − 24 = −20. Он отрицателен, поэтому действительных корней нет. Трёхчлен нигде не обращается в ноль.
2. Коэффициент a = 2 положителен, значит, трёхчлен положителен на всей числовой прямой. Требуется, чтобы он был меньше нуля, а такого не происходит. Поэтому подходящих x нет.

Ответ: решений нет.

Типичные ошибки

• Менять знак неравенства при переносе слагаемых. Перенося член, меняют его знак, но само неравенство сохраняют. Часто эти действия путают с умножением на отрицательное число, при котором знак действительно меняется. Проверьте, что именно сделано с обеими частями: знак неравенства меняют только при умножении или делении на отрицательное число.

• Неверно выбирать промежутки из-за направления ветвей. Если принять параболу, направленную вниз, за параболу, направленную вверх, легко поменять местами участки положительного и отрицательного значений. Направление определяет знак коэффициента a, а не положение корней. Перед выбором промежутков проверьте знак a и, если сомневаетесь, подставьте число из промежутка в трёхчлен.

• Неправильно включать корни в ответ. При строгих знаках > и < корни не подходят, поскольку в них выражение равно нулю. При нестрогих знаках ≥ и ≤ корни, наоборот, включают. Перед записью ответа сравните границы промежутка со знаком неравенства.

• Считать, что при D < 0 знак меняется. Без действительных корней график не пересекает ось x, поэтому непрерывный трёхчлен не может перейти из положительных значений в отрицательные. Его знак постоянен и совпадает со знаком a. Проверьте себя, посмотрев, есть ли корни, и сопоставив знак a с требованием задачи.

Связь с другими темами

До решения квадратных неравенств нужно уметь решать квадратные уравнения: вычислять дискриминант и находить корни. Также пригодятся числовые промежутки, координатная прямая и правила решения линейных неравенств, особенно правило о смене знака при умножении на отрицательное число. Квадратные неравенства используют при исследовании функций, решении систем и задач, где требуется оценить значение квадратного выражения.

Что запомнить

• Квадратное неравенство сначала приводят к виду ax² + bx + c > 0 или ax² + bx + c < 0.
• Корни соответствующего уравнения отмечают на числовой прямой.
• Направление ветвей параболы определяется знаком a.
• При двух корнях знак трёхчлена меняется при переходе через каждый корень.
• При D < 0 знак трёхчлена постоянен и совпадает со знаком a.
• Корни включают в ответ только при нестрогом неравенстве.