"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Квадратное неравенство содержит квадратный трёхчлен ax² + bx + c, где a ≠ 0. Его решение — все значения x, при которых трёхчлен положителен или отрицателен. Чтобы найти эти значения, неравенство приводят к стандартному виду, находят действительные корни и определяют знак выражения на промежутках между ними. На знак влияют расположение корней и коэффициент a, а знак неравенства подсказывает, включать ли сами корни в ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное неравенство — неравенство, в котором после преобразований одна из частей является квадратным трёхчленом. Обычно его записывают так: ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c ≥ 0 или с противоположными знаками. Приведение к такому виду помогает свести разные на вид примеры к одному способу решения.
Квадратный трёхчлен — выражение вида ax² + bx + c, где a ≠ 0. Число a называют старшим коэффициентом: оно определяет направление ветвей параболы и влияет на знак выражения. Коэффициенты b и c вместе с a задают положение графика и его пересечения с осью Ox.
Корни квадратного трёхчлена — значения x, при которых ax² + bx + c = 0. В корнях выражение обращается в ноль, а между ними его знак не может измениться без нового обращения в ноль. Поэтому корни служат границами промежутков, на которых исследуют знак трёхчлена.
Сначала перенеси все слагаемые в одну часть, а в другой оставь ноль. Если после переноса получилось, например, −x² + 3x − 2 < 0, можно умножить обе части на −1, но тогда знак неравенства станет противоположным: x² − 3x + 2 > 0. Знак меняют потому, что умножение чисел на отрицательное число меняет порядок между ними.
Корни находят решением уравнения ax² + bx + c = 0: используют дискриминант D = b² − 4ac или разложение на множители. Например, если трёхчлен равен (x − 1)(x − 3), его нули — 1 и 3. Вне этих точек множители и всё выражение непрерывно меняются, но знак трёхчлена не может смениться незаметно: для этого ему пришлось бы пройти через ноль. Поэтому корни и разделяют прямую на области постоянного знака.
Знак выражения связан с графиком y = ax² + bx + c. При a > 0 парабола раскрыта вверх, поэтому при двух корнях график находится выше оси Ox за пределами корней, а между ними — ниже. При a < 0 ветви направлены вниз, и знаки меняются на противоположные: выражение положительно между корнями, отрицательно вне их.
Чтобы составить схему знаков, расположи найденные корни по возрастанию и отметь знак на промежутках. Если a > 0, начинай с плюса слева и меняй знак при переходе через каждый простой корень; при a < 0 знаки будут обратными. Выбери участки, отвечающие знаку неравенства, а сами граничные точки включай только при нестрогом условии, если в них выражение равно нулю.
Если D < 0, действительных корней нет, а знак выражения везде совпадает со знаком a: парабола не пересекает ось Ox. При D = 0 имеется один двойной корень, в котором знак не меняется, поскольку график касается оси, а не пересекает её. Для строгого неравенства такую точку исключают, для нестрогого — включают, если знак выражения по обе стороны подходит условию.
| Условие | Корни | Знак при a > 0 | Знак при a < 0 |
|---|---|---|---|
| D > 0: два корня x₁ < x₂ | x₁ и x₂ | Плюс вне корней, минус между ними | Минус вне корней, плюс между ними |
| D = 0: один корень x₀ | Двойной корень x₀ | Плюс при x ≠ x₀, в x₀ — ноль | Минус при x ≠ x₀, в x₀ — ноль |
| D < 0: действительных корней нет | Нет | Плюс при всех x | Минус при всех x |
| Как учитывать корни в ответе при строгом и нестрогом неравенстве | Корень — точка, где выражение равно нулю | При > или < корни не включают; при ≥ или ≤ включают, если выполняется условие | |
Сначала найди строку, соответствующую дискриминанту, а затем выбери столбец по знаку a. Полученный знак показывает, какие участки прямой подходят условию. Последняя строка помогает правильно оформить границы ответа.
Ответ: (−∞; 2) ∪ (3; +∞).
Ответ: [−½; 2].
Ответ: решений нет, ∅.
При умножении неравенства на −1 иногда забывают изменить его знак. Так получают условие, неравносильное исходному, потому что умножение на отрицательное число меняет порядок. Для проверки сравни исходный и новый знаки или подставь одно и то же число в оба неравенства.
Другая ошибка — включать корни при строгом знаке > или < либо исключать их при ≥ или ≤. В корне трёхчлен равен нулю, и именно знак условия определяет, подходит ли это значение. Подставь каждый корень в выражение: если ноль разрешён, точку включают, иначе оставляют круглую границу.
Знаки на промежутках нельзя определять только по расположению корней, не глядя на старший коэффициент. При a < 0 парабола раскрыта вниз, поэтому знаки противоположны случаю a > 0; привычная схема с плюсом снаружи уже не подходит. Проверь направление ветвей или знак трёхчлена при большом по модулю x.
Наконец, при D < 0 трёхчлен не обязательно положителен: его знак зависит от a. Ошибка возникает, если отсутствие корней принимают за достаточное основание поставить плюс. Сначала определи знак старшего коэффициента: при a > 0 выражение всегда положительно, при a < 0 — всегда отрицательно.
Для решения квадратных неравенств нужны навыки решения квадратных уравнений: важно уметь находить дискриминант и раскладывать трёхчлен на множители. Эти же приёмы помогают исследовать квадратичную функцию и понимать, где её график расположен относительно оси Ox. Поэтому решение неравенства можно читать и по графику: участки выше оси соответствуют положительным значениям, ниже — отрицательным. Квадратные неравенства также используют при исследовании функций и решении систем неравенств.
Как понять, какие промежутки нужно включить в ответ?
Найдите корни и определите знак трёхчлена на каждом промежутке между ними и за их пределами. Оставьте участки, где знак выражения соответствует условию: например, для ax² + bx + c > 0 нужны участки с положительным знаком.
Почему корни квадратного уравнения разделяют числовую прямую на промежутки?
В корнях трёхчлен равен нулю, а между корнями он не обращается в ноль. Непрерывное выражение не может сменить знак, не пройдя через ноль, поэтому на каждом таком промежутке знак постоянен.
Что делать, если дискриминант отрицательный?
Действительных корней нет, поэтому знак трёхчлена не меняется и определяется старшим коэффициентом a. При a > 0 выражение положительно при всех x, при a < 0 — отрицательно при всех x.
Когда корни включаются в ответ на квадратное неравенство?
Корни включают, если условие допускает равенство нулю: при знаках ≥ или ≤. При строгих знаках > и < корни не входят, потому что в них трёхчлен равен нулю.
Как знак старшего коэффициента влияет на решение?
Он показывает направление ветвей параболы и знак трёхчлена вне двух корней. При a > 0 ветви направлены вверх, а при a < 0 — вниз; поэтому знаки на промежутках для этих случаев противоположны.
§ 8. Квадратные неравенства
