§ 7. Квадратичная функция

Определения и обозначения

Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a, b, c — числа и a ≠ 0. Коэффициент a задаёт направление ветвей и влияет на ширину параболы, b вместе с a определяет положение её вершины, а c равен значению функции при x = 0. Условие a ≠ 0 необходимо: иначе исчезает квадратный член и функция перестаёт быть квадратичной.

Парабола — график квадратичной функции. Её форма связана с тем, что после выделения полного квадрата функция записывается как y = a(x − m)² + n: квадрат расстояния от x до m одинаков для точек по обе стороны от m. Поэтому график симметричен относительно прямой x = m и имеет одну вершину, где достигается крайнее значение.

Вершина параболы — точка, в которой функция достигает наименьшего или наибольшего значения. Если записать функцию как y = a(x − m)² + n, координаты вершины равны (m; n), а из общего вида следует m = −b/(2a). Вершина нужна, чтобы определить ось симметрии, крайнее значение и промежутки возрастания и убывания.

Нули функции — значения аргумента x, при которых y = 0. Чтобы их найти, решают уравнение ax² + bx + c = 0; его действительные корни и есть нули функции. Каждый такой корень x₀ задаёт точку пересечения графика с осью x: (x₀; 0).

Как это устроено

Чтобы выделить полный квадрат, сгруппируем первые два слагаемых и дополним их до квадрата двучлена: ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Это равенство показывает, что график можно читать через выражение a(x − m)² + n, где m = −b/(2a). При x = m квадрат обращается в ноль, поэтому остаётся значение n и получается вершина (m; n). Такой вид удобен не только для поиска вершины, но и для построения графика.

Квадрат (x − m)² не бывает отрицательным, поэтому знак a определяет, увеличиваются или уменьшаются значения функции при удалении от вершины. При a > 0 прибавка a(x − m)² неотрицательна, и вершина даёт минимум; ветви направлены вверх. При a < 0 эта прибавка неположительна, поэтому вершина даёт максимум, а ветви направлены вниз. Знак a сам по себе не говорит, положительна ли функция при каждом x: это зависит также от положения параболы и её нулей.

Абсцисса вершины находится по формуле x₀ = −b/(2a), а ордината — подстановкой: y₀ = f(x₀). Поэтому ось симметрии имеет уравнение x = x₀: это вертикальная прямая, проходящая через вершину параллельно оси y. Симметричные относительно неё значения аргумента дают одинаковые значения функции, поскольку в форме a(x − x₀)² + y₀ их квадратные части совпадают.

Пересечения параболы с осью x находятся из уравнения ax² + bx + c = 0. Дискриминант D = b² − 4ac показывает, сколько у этого уравнения действительных корней: два при D > 0, один при D = 0 и ни одного при D < 0. Геометрически это означает соответственно две точки пересечения, касание оси в одной точке или отсутствие пересечений. Если корень равен x₁ или x₂, координаты соответствующих точек — (x₁; 0) и (x₂; 0).

Для эскиза отметьте вершину и проведите через неё ось симметрии, затем учтите направление ветвей и нанесите нули, если они существуют. При a > 0 график убывает при x < x₀ и возрастает при x > x₀; при a < 0 сначала возрастает, а после вершины убывает. Эти свойства следуют из того, что при удалении от x₀ квадрат (x − x₀)² растёт, а множитель a задаёт, в какую сторону меняется y. Для точности можно добавить точки, симметричные относительно оси.

Основные свойства квадратичной функции y = ax² + bx + c

В таблице собраны формулы и условия, с которых удобно начинать исследование функции. Сначала найдите вершину и знак a, затем определите множество значений и направление изменения. Дискриминант поможет понять, сколько нулей есть и где парабола пересекает ось x.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = x² − 4x + 3 определить вершину параболы, ось симметрии и направление ветвей. Чтобы найти вершину, удобно преобразовать выражение так, чтобы в нём появился квадрат двучлена. Коэффициент при x² сразу подскажет направление ветвей.

1. Выделим полный квадрат: x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 4 + 3 = (x − 2)² − 1.
2. Сравним с видом y = a(x − m)² + n: здесь m = 2, n = −1, поэтому вершина — (2; −1).
3. Ось симметрии проходит через вершину вертикально: x = 2. Коэффициент a = 1 > 0, значит, ветви направлены вверх.

Ответ: вершина (2; −1), ось симметрии x = 2, ветви направлены вверх. Запись в виде полного квадрата позволяет проверить координаты вершины без подстановки в исходную формулу. Кроме того, из неё видно, что наименьшее значение функции равно −1.

Задача 2. Найти нули функции y = 2x² + x − 3 и указать точки пересечения её графика с осью x. Нули получаются там, где значение функции равно нулю, поэтому составим квадратное уравнение. После нахождения корней важно записать не только их значения, но и координаты точек графика.

1. Приравняем функцию к нулю: 2x² + x − 3 = 0.
2. Вычислим дискриминант: D = 1² − 4 · 2 · (−3) = 25. Тогда x = (−1 ± √25)/4, откуда x₁ = 1 и x₂ = −3/2.
3. Каждому корню соответствует точка на оси x с ординатой 0: (1; 0) и (−3/2; 0).

Ответ: нули функции — 1 и −3/2; точки пересечения с осью x — (1; 0) и (−3/2; 0). Проверить корни можно подстановкой в исходный многочлен: в обоих случаях получается ноль. Положительный дискриминант согласуется с тем, что парабола пересекает ось x в двух точках.

Задача 3. Построить график y = −x² + 4x − 3 и определить промежутки возрастания и убывания, множество значений и знак функции. Сначала найдём вершину и направление ветвей, затем нули: эти данные дают основные точки и форму эскиза. Для определения знака учтём, где график расположен относительно оси x.

1. Выделим квадрат: y = −(x² − 4x) − 3 = −(x − 2)² + 1. Вершина — (2; 1), ось симметрии — x = 2, ветви направлены вниз.
2. Решим −x² + 4x − 3 = 0, или x² − 4x + 3 = 0. Корни 1 и 3, значит, график пересекает ось x в точках (1; 0) и (3; 0).
3. До вершины функция возрастает, после неё убывает: соответственно на (−∞; 2] и [2; +∞). Максимум равен 1, поэтому множество значений — (−∞; 1].
4. Между нулями график расположен выше оси x, а снаружи — ниже: y > 0 при 1 < x < 3, y < 0 при x < 1 или x > 3. В самих точках x = 1 и x = 3 значение равно нулю.

Ответ: вершина (2; 1), нули 1 и 3, множество значений (−∞; 1]; функция возрастает на (−∞; 2] и убывает на [2; +∞). Для эскиза отметьте вершину и две точки пересечения с осью x, а затем отразите форму относительно прямой x = 2. Направление ветвей вниз согласуется с найденным максимумом и отрицательными значениями за пределами нулей.

Типичные ошибки

Ошибка: считать квадратичной функцию при a = 0. Так думают, потому что в записи всё ещё могут оставаться члены с x, но без x² функция линейная или постоянная. Проверьте коэффициент именно при x²: он обязан быть ненулевым.

Ошибка: путать абсциссу вершины −b/(2a) с её ординатой. Формула даёт только значение x, потому что именно оно задаёт вертикальную ось симметрии; координату y получают подстановкой в функцию. Для самопроверки запишите пару координат (x₀; f(x₀)) и подставьте в неё исходную формулу.

Ошибка: считать, что знак a определяет знак самой функции. Коэффициент показывает направление ветвей, а значение y зависит ещё от положения графика и от того, по какую сторону нулей находится x. Проверьте вывод по вершине и нулям либо подставьте пробное значение аргумента в нужном промежутке.

Ошибка: записать нули функции как точки графика без координат. Нуль — это значение аргумента, а точка на оси x обязательно имеет ещё и ординату 0. Если получен корень x₀, запишите точку (x₀; 0) и проверьте, что при этом x функция действительно равна нулю.

Связь с другими темами

Для работы с квадратичной функцией нужно уметь раскрывать скобки, выделять полный квадрат и решать квадратные уравнения. Эти навыки помогают перейти от формулы к вершине, найти нули и исследовать график. В свою очередь, парабола связывает графическое представление функции с решением уравнений и неравенств: пересечения с осью x показывают корни, а положение графика — где выражение положительно или отрицательно. Квадратичные зависимости также используют при исследовании выражений и построении математических моделей.

Что запомнить

• Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a ≠ 0.
• Её график — парабола.
• Ось симметрии параболы задаётся формулой x = −b/(2a).
• Ветви направлены вверх при a > 0 и вниз при a < 0.
• Вершина задаёт наименьшее значение при a > 0 и наибольшее при a < 0.
• Нули функции — корни уравнения ax² + bx + c = 0.