"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Квадратное уравнение содержит переменную во второй степени и имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Его корни находят по дискриминанту, а неполные уравнения часто решают разложением на множители или извлечением квадратного корня. Знак дискриминанта показывает, сколько действительных корней существует. Для приведённого уравнения полезна теорема Виета: она связывает сумму и произведение корней с коэффициентами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Коэффициент a стоит при x², b — при x, а c — свободный член, не содержащий переменную. По этим коэффициентам выбирают способ решения и находят число корней.
Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение, в котором b или c равен нулю. Основные виды: ax² + bx = 0, ax² + c = 0 и ax² = 0. Их удобно распознавать отдельно: обычно они решаются короче, чем уравнения общего вида.
Дискриминант — выражение D = b² − 4ac, вычисляемое по коэффициентам квадратного уравнения. Его значение показывает, сколько у уравнения действительных корней. Знание знака D помогает понять, нужно ли искать два корня, один или ни одного.
Корень квадратного уравнения — значение переменной, при подстановке которого получается верное равенство. Чтобы проверить найденное значение, подставь его вместо x в исходное уравнение и вычисли обе части. Проверка позволяет обнаружить ошибки в знаках и вычислениях.
Сначала уравнение приводят к стандартному виду ax² + bx + c = 0: раскрывают скобки, переносят все слагаемые в одну часть и приводят подобные. Затем сравнивают полученное выражение со стандартной записью и определяют a, b и c вместе со знаками. Например, в уравнении 2x² − 5x − 3 = 0 коэффициенты равны 2, −5 и −3; пропуск знака изменил бы результат решения.
Дискриминант возникает при выводе формулы корней через выделение полного квадрата. Если разделить уравнение на a, а затем дополнить x² + (b/a)x до квадрата, слева получится (x + b/(2a))², а справа — D/(4a²). Квадрат действительного числа не бывает отрицательным, поэтому при D < 0 решений нет; при D = 0 квадрат обращается в ноль в одной точке, а при D > 0 получаются два значения с противоположными знаками перед √D.
Из равенства (x + b/(2a))² = D/(4a²) извлекают квадратный корень, учитывая оба знака: x + b/(2a) = ±√D/(2a). После переноса слагаемого получается общая формула x = (−b ± √D)/(2a), применимая при D ≥ 0. Знак ± означает, что для двух корней отдельно берут плюс и минус; при D = 0 оба вычисления дают одно и то же значение.
Неполные уравнения разумно решать отдельно, потому что в них отсутствует одно из слагаемых и это сразу упрощает действия. В ax² + bx = 0 можно вынести x и применить правило: если произведение равно нулю, хотя бы один множитель равен нулю. В ax² + c = 0 достаточно выразить x² и проверить знак полученного числа: механическое применение общей формулы здесь добавляет вычисления, но не помогает понять решение.
Приведённое квадратное уравнение — это уравнение, у которого коэффициент при x² равен 1: x² + px + q = 0. Если его корни x₁ и x₂, то (x − x₁)(x − x₂) = 0; раскрытие скобок даёт x₁ + x₂ = −p и x₁x₂ = q. Эти соотношения называют теоремой Виета: по ним можно подобрать корни или проверить уже найденные, не вычисляя дискриминант.
Сначала определи, полное уравнение перед тобой или неполное, и проверь, можно ли применить более короткий приём. В таблице собраны основные случаи и ожидаемый результат. Если вычисления не совпали с ним, проверь коэффициенты и знаки.
| Условие или вид уравнения | Основной приём | Результат |
|---|---|---|
| Полное квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 | Вычислить D = b² − 4ac и применить формулу корней | При D > 0 — два корня, при D = 0 — один корень, при D < 0 — действительных корней нет |
| Неполное уравнение ax² + bx = 0 | Вынести x за скобки и применить правило произведения | Корни x = 0 и x = −b/a |
| Неполное уравнение ax² + c = 0 | Выразить x² и проверить знак −c/a | При −c/a > 0 — два противоположных корня, при −c/a = 0 — один корень, при −c/a < 0 — действительных корней нет |
| Приведённое уравнение x² + px + q = 0 | Использовать теорему Виета или её следствия | Сумма корней равна −p, произведение корней равно q |
Решим полное уравнение 2x² − 5x − 3 = 0. Оно уже записано в стандартном виде, поэтому сначала выделим коэффициенты, а затем применим формулу корней. Два знака в формуле дадут два возможных значения x.
Теперь решим неполное уравнение 3x² − 12x = 0. Свободного члена нет, поэтому вынесение общего множителя позволяет применить правило нулевого произведения. Делить сразу на x нельзя: x может быть равен нулю и тогда такой корень потеряется.
Исследуем уравнение x² − 4x + a = 0 в зависимости от параметра a. Параметр меняет свободный член, поэтому количество корней определяется знаком дискриминанта. Сначала найдём выражение для D, а затем разберём все три возможных знака.
Ответ: при a < 4 — два различных корня, при a = 4 — один, при a > 4 — действительных корней нет. Границу a = 4 важно включить именно в случай D = 0. Такое разделение случаев удобно проверять подстановкой значений параметра по обе стороны от границы.
Забывают условие a ≠ 0 и называют квадратным уравнением линейное. Это происходит, когда смотрят только на наличие переменной и не проверяют степень старшего члена. Проверь, что коэффициент при x² не равен нулю; если он равен нулю, решай уравнение как линейное.
В дискриминанте часто ошибаются со знаком перед 4ac или забывают возвести b в квадрат. Особенно легко потерять минус, если коэффициенты отрицательные. Запиши подстановку со скобками, например (−5)², а затем отдельно вычисли b² и 4ac — так проще проверить знак.
При D < 0 иногда продолжают подставлять число под знак квадратного корня, хотя действительных корней тогда нет. Причина — формулу применяют механически, не анализируя её условие. Сначала сравни D с нулём и только при D ≥ 0 вычисляй действительные корни.
При разложении на множители можно потерять корень, если разделить обе части на x и забыть, что x = 0 тоже могло быть решением. Так происходит из-за желания упростить выражение до вычислений. Вместо деления приравняй каждый множитель к нулю; после решения подставь найденные значения в исходное уравнение.
Для решения квадратных уравнений нужны навыки раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, разложения на множители и решения линейных уравнений. На графике функции y = ax² + bx + c корни уравнения — это абсциссы точек пересечения параболы с осью x. Поэтому число корней связано с тем, пересекает ли парабола ось, касается её или проходит выше либо ниже. Квадратные уравнения также встречаются при решении рациональных, иррациональных и показательных уравнений, а ещё в задачах с параметрами.
Почему коэффициент a в квадратном уравнении не может быть равен нулю?
Если a = 0, член с x² исчезает, и уравнение становится линейным или превращается в равенство без переменной. Поэтому условие a ≠ 0 входит в определение квадратного уравнения.
Всегда ли нужно сначала вычислять дискриминант?
Нет. Если уравнение неполное, его часто проще решить разложением на множители или извлечением квадратного корня. Для приведённого уравнения также можно применить теорему Виета, если корни легко подобрать.
Что делать, если дискриминант получился отрицательным?
В действительных числах уравнение не имеет корней: квадратный корень из отрицательного числа не является действительным. Проверь вычисления дискриминанта, а если знак верный — запиши, что действительных корней нет.
Как не потерять корень при делении или разложении на множители?
Не дели обе части на выражение с переменной, не проверив, может ли оно быть равно нулю: так можно исключить корень. При произведении множителей, равном нулю, приравняй нулю каждый множитель отдельно.
Когда удобнее использовать теорему Виета, а когда формулу корней?
Теорема Виета удобна для приведённого уравнения, если сумму и произведение корней можно быстро распознать. Формула через дискриминант подходит для любого полного квадратного уравнения и даёт корни напрямую.
§ 6. Квадратные уравнения
