§ 4. Квадратные уравнения

Определения и обозначения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Буквы a, b и c называют коэффициентами, а x — переменной. Условие a ≠ 0 нужно, чтобы в уравнении действительно присутствовало слагаемое с x² и степень уравнения была равна двум.

Корни квадратного уравнения — значения переменной, при подстановке которых равенство становится верным. Например, число 3 является корнем уравнения x² − 9 = 0, потому что 3² − 9 = 0. Поиск корней и есть решение уравнения: оно может иметь два, один или ни одного действительного корня.

Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение, в котором b = 0 или c = 0, либо оба коэффициента равны нулю. Поэтому в записи ax² + bx + c = 0 отсутствует линейное слагаемое bx, свободный член c или сразу оба. Такое уравнение часто можно решить проще, чем полное: вынести общий множитель или извлечь квадратный корень.

Дискриминант — число D = b² − 4ac, вычисляемое по коэффициентам квадратного уравнения. Его значение показывает, сколько уравнение имеет действительных корней. Дискриминант помогает выбрать дальнейший шаг: применять формулу корней, записать один корень или заключить, что действительных корней нет.

Как это устроено

Чтобы решать квадратное уравнение одним и тем же способом, его сначала записывают в стандартном виде ax² + bx + c = 0. Все слагаемые с переменной и числа собирают в одной части, а в другой оставляют ноль. При переносе слагаемого через знак равенства меняют его знак: это равносильное преобразование, потому что к обеим частям прибавляют одно и то же число. Если знак не поменять, равенство изменится и найденные значения могут не подойти к исходному уравнению.

В неполном уравнении выбирают способ по тому, какого слагаемого нет. Если b = 0, из ax² + c = 0 после переноса получается x² = −c/a. При положительном правом значении нужно взять оба корня с противоположными знаками; при нуле получится один корень, а при отрицательном значении действительных корней не будет. Если c = 0, уравнение ax² + bx = 0 раскладывают на множители: x(ax + b) = 0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Формулу корней можно получить, выделив полный квадрат. Для ax² + bx + c = 0 сначала делят обе части на a, а затем переносят свободный член: x² + (b/a)x = −c/a. К обеим частям прибавляют квадрат половины коэффициента при x, то есть b²/(4a²), и левая часть становится квадратом суммы. После извлечения корня и упрощения получается x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a). Выражение под корнем называют дискриминантом.

Знак дискриминанта определяет, можно ли извлечь из него действительный квадратный корень. Если D > 0, число √D существует и формула даёт два разных значения: со знаком плюс и со знаком минус. При D = 0 оба значения совпадают, поэтому корень один и равен −b/(2a). При D < 0 квадратный корень из D среди действительных чисел не определён, значит, действительных корней нет.

Формулу корней используют после того, как уравнение приведено к стандартному виду: коэффициенты a, b и c должны быть определены с учётом знаков. Если все слагаемые содержат общий множитель, уравнение можно разделить на него, но только если он не равен нулю. Деление упрощает вычисления, а корни сохраняются. Перед выбором способа полезно проверить, не является ли уравнение неполным или легко раскладываемым на множители.

Число корней квадратного уравнения и формулы их нахождения

Сначала определи, полное уравнение или неполное, а затем используй подходящую строку таблицы. В первых трёх строках нужно найти дискриминант по коэффициентам стандартной записи. В строках неполных уравнений можно обойтись без общей формулы, но не забывай проверять знак подкоренного выражения.

Разбор задач

Решите уравнение x² − 9 = 0.

1. Сравним уравнение с видом ax² + bx + c = 0. Здесь нет слагаемого с x, значит b = 0, и уравнение неполное. Переносим число −9 вправо, чтобы получить x² = 9.

2. Нужно найти числа, квадрат которых равен 9. Поскольку и 3², и (−3)² равны 9, записываем два значения: x = 3 и x = −3. Один знак пропустить нельзя.

3. Проверим подстановкой: для x = 3 получаем 9 − 9 = 0. Для x = −3 получаем (−3)² − 9 = 9 − 9 = 0, значит, оба значения подходят.

Ответ: −3; 3.

Решите уравнение x² − 5x + 6 = 0.

1. Подберём два числа, произведение которых равно 6, а сумма — 5. Это числа 2 и 3, поэтому трёхчлен раскладывается на множители: (x − 2)(x − 3) = 0. Раскрытие скобок даёт x² − 5x + 6, так что разложение верно.

2. Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому рассматриваем два уравнения: x − 2 = 0 или x − 3 = 0. Из них получаем x = 2 и x = 3.

3. Проверка показывает, что при x = 2 левая часть равна 4 − 10 + 6 = 0. При x = 3 она равна 9 − 15 + 6 = 0, поэтому оба корня подходят.

Ответ: 2; 3.

Решите уравнение 3x² + 2x − 7 = 0.

1. Уравнение уже записано в стандартном виде, поэтому a = 3, b = 2, c = −7. Найдём дискриминант: D = 2² − 4 · 3 · (−7) = 4 + 84 = 88. Он положителен, значит, будут два действительных корня.

2. Подставим коэффициенты в формулу: x = (−2 ± √88)/6. Так как √88 = 2√22, сократим числитель и знаменатель на 2. Получаем x = (−1 ± √22)/3.

3. Приближённо √22 ≈ 4,69, поэтому корни равны примерно 1,23 и −1,90. Подстановка точных значений (−1 + √22)/3 и (−1 − √22)/3 в исходное уравнение обращает левую часть в ноль. Значит, оба значения найдены верно.

Ответ: x = (−1 + √22)/3; x = (−1 − √22)/3.

Типичные ошибки

Некоторые считают квадратным уравнение, в котором a = 0. Так происходит, если смотрят только на наличие других слагаемых и не замечают, что член с x² исчез. Проверь коэффициенты в стандартной записи: если a = 0, уравнение линейное или числовое, и формулу квадратных корней применять нельзя.

При решении уравнения x² = k иногда записывают только x = √k. Второй корень пропускают, потому что привычная запись квадратного корня обозначает неотрицательное число. Если k > 0, квадрату k равны и √k, и −√k; проверь оба значения возведением в квадрат.

Ошибки в знаках дискриминанта особенно вероятны, когда c отрицательно: в выражении −4ac два знака минус могут дать плюс. Подставляй коэффициенты в формулу в скобках, например −4 · 3 · (−7), и только затем выполняй вычисления. Для самопроверки отдельно вычисли b² и произведение 4ac, а потом вычти второе из первого.

Нельзя подставлять в формулу коэффициенты до приведения уравнения к виду ax² + bx + c = 0. Например, если слагаемое перенесли неправильно или не изменили его знак, значения a, b и c окажутся неверными; также формула требует деления на ненулевой коэффициент при x². Перепиши уравнение, проверь знаки и убедись, что a ≠ 0, а затем найди дискриминант.

Связь с другими темами

Для решения квадратных уравнений нужны навыки преобразования выражений: нужно переносить слагаемые, правильно работать со знаками и раскладывать многочлены на множители. Полезно также уметь решать линейные уравнения, которые появляются после разложения на множители. Квадратные уравнения применяют в задачах, сводящихся ко второй степени, а позднее они помогают изучать квадратичную функцию и связь её графика с корнями уравнения.

Что запомнить

• В квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент a не равен нулю.
• Дискриминант вычисляют по формуле D = b² − 4ac.
• Знак дискриминанта показывает число действительных корней.
• При D > 0 корни находят по формуле x = (−b ± √D)/(2a).
• При D = 0 уравнение имеет один действительный корень x = −b/(2a).
• Неполные квадратные уравнения часто решаются без общей формулы — вынесением множителя или извлечением корня.