"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c, где a ≠ 0. Его корни — значения x, при которых трёхчлен обращается в нуль. Число действительных корней показывает дискриминант D = b² − 4ac: по нему можно понять, получится ли разложить выражение на линейные множители. Это помогает решать квадратные уравнения и упрощать алгебраические дроби.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный трёхчлен — это выражение вида ax² + bx + c, где a, b и c — числа, а a ≠ 0. Коэффициент a стоит при x², коэффициент b — при x, число c называют свободным членом. Условие a ≠ 0 означает, что в выражении действительно есть слагаемое со второй степенью переменной. По этим коэффициентам можно записать уравнение и вычислить его дискриминант.
Корнями квадратного трёхчлена называют значения переменной, при которых значение всего выражения равно нулю. Например, если при x = 2 выражение принимает значение 0, то 2 — его корень. Найти такие значения — значит решить уравнение, в левой части которого стоит трёхчлен, а в правой ноль. Корни нужны, чтобы записать трёхчлен как произведение множителей.
Дискриминант квадратного трёхчлена обозначают D и вычисляют по формуле D = b² − 4ac. Знак D показывает, сколько у трёхчлена действительных корней: два, один или ни одного. Сначала важно правильно подставить коэффициенты, сохраняя их знаки. По дискриминанту можно заранее понять, возможно ли разложение на действительные линейные множители.
Разложить квадратный трёхчлен на линейные множители — значит представить его в виде произведения выражений первой степени, например a(x − x₁)(x − x₂). Здесь x₁ и x₂ — корни трёхчлена, а число a остаётся множителем перед скобками. При таком представлении значение всего произведения становится нулём при каждом из корней. Поэтому разложение напрямую связано с решением уравнения.
Чтобы найти корни трёхчлена, приравнивают его к нулю и решают квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Это одна и та же задача: корнем выражения называют значение, при котором выражение равно нулю, а решением уравнения — значение, превращающее равенство в верное. Например, если требуется найти корни x² − 5x + 6, нужно решить уравнение x² − 5x + 6 = 0. Поэтому способы решения квадратных уравнений применимы к любому квадратному трёхчлену.
Формулу корней можно получить, выделив полный квадрат. Для этого уравнение делят на a, переносят свободный член и дополняют левую часть до квадрата: x² + (b/a)x = −c/a, затем прибавляют к обеим частям (b/(2a))². Левая часть становится квадратом (x + b/(2a))², а после упрощения получается (2ax + b)² = b² − 4ac. Правая часть — это дискриминант, поэтому извлечение корня приводит к формуле x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a).
Знак дискриминанта определяет число действительных корней, потому что в формуле корней нужно извлечь квадратный корень из D. Если D > 0, есть два противоположных значения перед √D, поэтому получаются два различных корня. Если D = 0, оба значения совпадают и получается один корень; если D < 0, квадратный корень из D не является действительным числом, значит, действительных корней нет. Так знак D объясняет, сколько раз выражение может обратиться в нуль при действительных x.
Если корни равны x₁ и x₂, трёхчлен можно записать как ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). В скобках стоит разность переменной и корня: при x = x₁ первый множитель равен нулю, а при x = x₂ — второй. Множитель a необходим, потому что старший коэффициент исходного трёхчлена может быть не равен единице. Такое разложение можно проверить раскрытием скобок и сравнением коэффициентов.
При D = 0 оба корня совпадают и равны x₀ = −b/(2a). Тогда два одинаковых линейных множителя записывают как квадрат: ax² + bx + c = a(x − x₀)². Это не два разных корня, а один корень, повторённый в разложении. Например, множитель x − x₀ обращается в нуль при x₀, а его квадрат сохраняет это же значение корня.
| Условие | Число действительных корней | Разложение на множители |
|---|---|---|
| D > 0 | Два | a(x − x₁)(x − x₂) |
| D = 0 | Один | a(x − x₀)² |
| D < 0 | Ни одного | На действительные линейные множители не раскладывается |
Сначала вычислите D и найдите строку с подходящим условием. Если дискриминант положительный или равен нулю, определите корни и подставьте их в соответствующую форму разложения. При отрицательном дискриминанте действительных корней нет, поэтому действительных линейных множителей тоже не будет.
Задача 1. Разложить на множители x² − 5x + 6. Здесь a = 1, b = −5, c = 6. Два корня позволят составить произведение двух линейных множителей, поэтому сначала найдём дискриминант.
Ответ: (x − 3)(x − 2). Порядок множителей можно менять, потому что от перестановки сомножителей произведение не изменяется. Проверка раскрытием скобок даёт x² − 5x + 6.
Задача 2. Разложить на множители 2x² + 4x + 2. Здесь a = 2, b = 4, c = 2. Перед поиском корней проверим дискриминант: это покажет, нужно ли записывать два разных множителя или квадрат одного множителя.
Ответ: 2(x + 1)². Коэффициент 2 нельзя потерять: без него старший член стал бы x², а не 2x². Корень один, x = −1, и множитель x + 1 записан в квадрате.
Задача 3. Определить, можно ли разложить на действительные линейные множители трёхчлен 3x² + 2x + 5. Для ответа не обязательно решать уравнение целиком. Достаточно найти знак дискриминанта: если он отрицателен, действительных корней не будет.
Ответ: над действительными числами разложить нельзя. Здесь важно ограничение «над действительными числами»: вывод сделан именно для множителей с действительными коэффициентами. Отсутствие действительных корней определяет ответ без подбора множителей.
Иногда выражение без члена с x² называют квадратным трёхчленом. Такое происходит, если забыть условие a ≠ 0: при a = 0 остаётся выражение bx + c, которое не является квадратным. Проверьте, что коэффициент перед x² действительно отличен от нуля. Если он равен нулю, формулы квадратного уравнения применять нельзя.
При вычислении дискриминанта часто теряют знак коэффициента b или забывают, что возводится в квадрат всё число b. Например, для b = −5 нужно считать (−5)², а не −5²; также важно не потерять знак минус перед 4ac. Записывайте подстановку в D = b² − 4ac со скобками. Затем отдельно проверьте квадрат b и произведение 4ac.
В множителе иногда ошибочно ставят плюс перед корнем: пишут x + x₁ вместо x − x₁. Путаница возникает из-за того, что знак внутри скобок противоположен знаку самого корня. Проверка простая: подставьте корень x₁ в x − x₁ — получится ноль. Если выбранный множитель не обращается в нуль при этом корне, знак записан неверно.
При D = 0 могут записать два разных корня или забыть квадрат линейного множителя. Ошибка появляется, если механически использовать обозначения x₁ и x₂, не заметив, что значения по формуле совпали. Проверьте, равен ли дискриминант нулю и одинаковы ли полученные корни. Разложение должно иметь вид a(x − x₀)², а не произведение разных множителей.
До работы с квадратными трёхчленами нужно уметь раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и решать линейные уравнения. Эти навыки помогают преобразовывать выражения и проверять разложения. Например, раскрытие скобок позволяет убедиться, что произведение действительно равно исходному трёхчлену.
Понятие квадратного уравнения и формула его корней нужны, чтобы находить корни трёхчлена. Трёхчлен приравнивают к нулю и решают полученное уравнение, используя дискриминант. Поэтому знание формулы связывает вычисление корней с последующим разложением на множители.
Разложение квадратного трёхчлена используют при решении уравнений и сокращении алгебраических дробей. В уравнении произведение удобно приравнять к нулю, а в дроби можно сокращать общие множители, если знаменатель не равен нулю. Поэтому поиск корней помогает не только исследовать выражение, но и упрощать дальнейшие вычисления.
Почему коэффициент a в квадратном трёхчлене не может быть равен нулю?
Если a = 0, слагаемое ax² исчезает, и выражение становится bx + c. В нём уже нет второй степени переменной, поэтому оно не является квадратным трёхчленом.
Что показывает дискриминант квадратного трёхчлена?
Дискриминант D = b² − 4ac помогает определить число действительных корней. При D > 0 корней два, при D = 0 — один, а при D < 0 действительных корней нет.
Можно ли разложить трёхчлен на линейные множители, если его дискриминант отрицателен?
Над действительными числами — нельзя: при отрицательном дискриминанте у трёхчлена нет действительных корней. Поэтому представить его как произведение действительных линейных множителей не получится.
Почему при разложении в скобках стоят множители x − x₁ и x − x₂?
При x = x₁ первый множитель становится равен нулю, а при x = x₂ нулём становится второй. Поэтому произведение обращается в нуль именно при корнях трёхчлена.
Как записать разложение, если у трёхчлена один корень?
Если корень x₀ один, то он считается дважды, и разложение записывают так: a(x − x₀)². Квадрат линейного множителя соответствует нулевому дискриминанту.
4.1. Квадратный трёхчлен
