"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c, где a ≠ 0. Его корни — значения x, при которых выражение становится равным нулю; их находят, решая квадратное уравнение. Дискриминант b² − 4ac показывает, сколько действительных корней существует. Если корни найдены, трёхчлен можно записать как произведение линейных множителей, а затем проверить результат умножением. Это помогает решать уравнения и неравенства, упрощать дроби и находить нули квадратичной функции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный трёхчлен — многочлен вида ax² + bx + c, где a ≠ 0. Коэффициент a называют старшим: он стоит при x², b — коэффициент при x, а c — свободный член, не содержащий переменную. Условие a ≠ 0 означает, что в выражении действительно есть член второй степени. По коэффициентам удобно распознавать трёхчлен и подставлять его в формулы.
Корень квадратного трёхчлена — значение переменной, при котором трёхчлен обращается в нуль. Чтобы найти такие значения, решают уравнение ax² + bx + c = 0. Например, если при x = 2 выражение равно нулю, то 2 — его корень. Корни нужны, чтобы находить точки, где выражение меняет знак, и записывать трёхчлен как произведение.
Дискриминант квадратного трёхчлена — выражение D = b² − 4ac. В нём используются все три коэффициента, поэтому перед вычислением важно определить их знаки. По знаку D узнают, сколько действительных корней имеет соответствующее уравнение. Это позволяет понять, получится ли разложить трёхчлен на линейные множители над действительными числами.
Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители — запись его в виде произведения выражений первой степени. Если корни равны x₁ и x₂, то множители имеют вид x − x₁ и x − x₂, а перед ними сохраняется коэффициент a. Каждый такой множитель обращается в нуль при соответствующем корне. Поэтому разложение напрямую связывает вычисленные корни с исходным выражением.
Чтобы найти корни трёхчлена, нужно выяснить, при каких x выражение ax² + bx + c равно нулю. Это и есть уравнение второй степени, поэтому задача сводится к решению квадратного уравнения. Если найдены корни x₁ и x₂, то выражения x − x₁ и x − x₂ обращаются в нуль в этих точках. Значит, их произведение содержит те же корни, а множитель a сохраняет исходный коэффициент при x².
Формулу корней можно получить, выделив полный квадрат в уравнении ax² + bx + c = 0. Сначала делят обе части на a, а затем переносят свободный член: x² + (b/a)x = −c/a. К обеим частям прибавляют квадрат половины коэффициента при x, то есть (b/2a)², и левую часть записывают как квадрат двучлена. После преобразований получается (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a². Правая часть содержит D = b² − 4ac, поэтому при извлечении корня и выражении x появляется формула x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a).
Знак дискриминанта определяет, можно ли извлечь из него действительный квадратный корень. При D > 0 число √D положительно, и знаки плюс и минус дают два разных корня. При D = 0 оба значения формулы совпадают, поэтому корень один. При D < 0 действительного квадратного корня из D нет, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Если у трёхчлена есть два корня, его можно записать как ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). При раскрытии скобок старший член будет ax², а значения x₁ и x₂ обеспечат нужные корни. Когда корни совпадают, оба множителя одинаковы: запись превращается в a(x − x₁)². Такой случай соответствует D = 0 и называется кратным корнем.
Разложение стоит проверять умножением, потому что похожая запись может содержать неверный знак или пропущенный коэффициент. Сначала перемножают линейные множители, затем умножают результат на a и приводят подобные слагаемые. Полученные коэффициенты при x² и x, а также свободный член сравнивают с исходными a, b и c. Если все три совпали, разложение верно.
| Условие | Действительные корни | Разложение на множители над действительными числами |
|---|---|---|
| D > 0 | Два различных корня x₁ и x₂ | a(x − x₁)(x − x₂) |
| D = 0 | Один корень x₁, совпадающий дважды | a(x − x₁)² |
| D < 0 | Действительных корней нет | На линейные множители не раскладывается |
Сначала найди знак дискриминанта, затем выбери соответствующую строку таблицы. Если корни существуют, подставь их в множители x − x₁ и x − x₂. При отрицательном D действительного разложения на линейные множители не получится.
Ищем два числа, произведение которых равно 6, а сумма равна −5. Подходят −2 и −3: их произведение положительное, а сумма отрицательная.
Это числа, противоположные корням: уравнение x² − 5x + 6 = 0 имеет корни 2 и 3. Поэтому записываем множители x − 2 и x − 3.
Старший коэффициент равен 1, поэтому дополнительный множитель перед скобками не нужен. Получаем x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Ответ: (x − 2)(x − 3).
Находим дискриминант, подставляя коэффициенты a = 2, b = 1, c = −3: D = 1² − 4 · 2 · (−3) = 25. Он положителен, значит, будут два корня.
Вычисляем корни по формуле: x₁,₂ = (−1 ± √25)/4. Получаем x₁ = 1 и x₂ = −3/2.
Составляем множители x − 1 и x + 3/2, затем обязательно учитываем старший коэффициент 2. Запись 2(x − 1)(x + 3/2) можно привести к виду (x − 1)(2x + 3).
Ответ: (x − 1)(2x + 3).
Выделяем коэффициенты: a = 3, b = −2, c = 5. Подстановка в формулу даёт D = (−2)² − 4 · 3 · 5 = 4 − 60 = −56.
Дискриминант отрицательный, поэтому квадратного корня из D среди действительных чисел нет. Уравнение 3x² − 2x + 5 = 0 не имеет действительных корней.
Линейный множитель с действительными коэффициентами обращается в нуль при некотором действительном x. Так как действительных корней нет, подходящих линейных множителей не существует.
Ответ: над действительными числами не раскладывается.
Первая ошибка — не проверить условие a ≠ 0 и назвать квадратным трёхчленом выражение без x². Такое происходит, если смотреть только на наличие трёх слагаемых, хотя степень определяется старшим ненулевым членом. Проверь коэффициент при x²: если он равен нулю, выражение не является квадратным трёхчленом.
Вторая ошибка — неверно вычислить D = b² − 4ac, особенно если коэффициенты отрицательны. Минус перед b при возведении в квадрат исчезает, а отрицательный c нужно подставлять в скобках: −4a(−c). Запиши подстановку полностью и отдельно проверь знаки до выполнения умножения.
Третья ошибка — поставить в множителе знак плюс и написать x + x₁ вместо x − x₁. При этом множитель обращается в нуль при x = −x₁, поэтому заданный корень обычно теряется. Проверка простая: подставь корень в каждый множитель — нужный множитель должен стать равен нулю.
Четвёртая ошибка — забыть коэффициент a перед произведением линейных множителей. Тогда коэффициент при x² обычно получится равным 1, хотя в исходном трёхчлене он другой. Раскрой скобки и сравни старшие коэффициенты; для надёжности проверь также коэффициент при x и свободный член.
Для работы с трёхчленом нужны стандартный вид квадратного уравнения, формула его корней и правила умножения многочленов. Разложение на множители затем помогает решать квадратные неравенства и сокращать алгебраические дроби. Каждый линейный множитель показывает значение переменной, при котором выражение обращается в нуль. Эта связь подготавливает к изучению графика квадратичной функции и её нулей.
Почему в определении квадратного трёхчлена обязательно условие a ≠ 0?
Коэффициент a умножает x², поэтому при a = 0 член со второй степенью исчезает. Выражение становится линейным или постоянным, а не квадратным трёхчленом.
Как по дискриминанту определить количество действительных корней?
Сначала вычисли D = b² − 4ac. Если D > 0, корней два; если D = 0, один; если D < 0, действительных корней нет.
Почему в разложении на множители пишут x − x₁, а не x + x₁?
Множитель x − x₁ обращается в нуль при x = x₁, поэтому его корень совпадает с корнем трёхчлена. Запись x + x₁ обращается в нуль при x = −x₁ и обычно задаёт другое значение.
Что делать, если дискриминант отрицательный?
Уравнение не имеет действительных корней, поэтому разложить трёхчлен на линейные множители с действительными коэффициентами нельзя. Можно указать, что D < 0, и обосновать этим ответ.
Как проверить, что квадратный трёхчлен разложен правильно?
Умножь записанные множители и приведи подобные слагаемые. Коэффициенты при x², x и свободный член должны совпасть с коэффициентами исходного трёхчлена.
1.1. Квадратный трёхчлен
