"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c, где a не равно нулю. Его можно разложить на множители, если найти корни соответствующего квадратного уравнения. Тогда корням x₁ и x₂ соответствуют множители x − x₁ и x − x₂, а коэффициент a сохраняется перед ними. Дискриминант показывает, сколько действительных корней есть у трёхчлена и какого вида будет разложение. Оно помогает решать уравнения и упрощать выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный трёхчлен — выражение вида ax² + bx + c, где a ≠ 0. Буквы a, b и c обозначают числа: a — коэффициент при x², b — коэффициент при x, c — свободный член. Условие a ≠ 0 нужно, чтобы выражение действительно было квадратным, а не линейным. Такая запись помогает увидеть устройство выражения и выбрать способ работы с ним.
Корень квадратного трёхчлена — значение переменной, при котором трёхчлен обращается в нуль. Например, если при x = 2 выражение равно нулю, то 2 — его корень. Найти такие значения означает решить уравнение ax² + bx + c = 0. Корни понадобятся, чтобы представить трёхчлен как произведение более простых выражений.
Разложение квадратного трёхчлена на множители — представление его в виде произведения множителей, обычно линейных, то есть выражений вида x − число. При умножении этих множителей должно получиться исходное выражение. Такое представление удобно: вместо вычисления значения всего трёхчлена можно рассматривать отдельные множители. Оно также помогает решать уравнения и сокращать дроби.
Пусть x₁ — корень трёхчлена, то есть при x = x₁ его значение равно нулю. Тогда множитель x − x₁ тоже становится равен нулю при этой подстановке. Поэтому корень подсказывает, какой множитель включить в разложение: корню x₁ соответствует x − x₁. Если есть второй корень x₂, ему соответствует множитель x − x₂.
При двух различных корнях трёхчлен записывается так: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Множитель a нельзя отбросить, потому что без него коэффициент при x² был бы равен 1, а в исходном трёхчлене он равен a. Проверим запись: (x − x₁)(x − x₂) = x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂. После умножения на a получаем ax² − a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂, то есть квадратный трёхчлен с тем же старшим коэффициентом и подходящими остальными коэффициентами.
Если D = 0, уравнение имеет один двойной корень x₀ = −b/(2a). Он считается дважды, поэтому два линейных множителя совпадают: ax² + bx + c = a(x − x₀)(x − x₀) = a(x − x₀)². Квадрат множителя показывает, что при x = x₀ трёхчлен обращается в нуль, хотя отдельное значение корня только одно. Например, при подстановке x₀ оба множителя одновременно становятся нулевыми.
Дискриминант D = b² − 4ac показывает, сколько действительных корней у квадратного уравнения, а значит — сколько действительных линейных множителей можно записать. При D > 0 корней два, и множители соответствуют каждому из них. При D = 0 получается один двойной корень и квадрат одного множителя. При D < 0 действительных корней нет, поэтому разложить трёхчлен на линейные множители с действительными коэффициентами таким способом нельзя.
Чтобы проверить разложение, перемножают записанные множители и сравнивают результат с исходным трёхчленом. Должны совпасть коэффициенты при x², при x и свободный член. При решении уравнения разложение позволяет приравнять произведение к нулю: если произведение равно нулю, хотя бы один из множителей равен нулю. При преобразовании выражений такой вид помогает, например, заметить общий множитель у числителя и знаменателя дроби.
| Условие | Корни | Разложение над действительными числами |
|---|---|---|
| D > 0 | Два различных корня x₁ и x₂ | a(x − x₁)(x − x₂) |
| D = 0 | Один двойной корень x₀ | a(x − x₀)² |
| D < 0 | Действительных корней нет | На действительные линейные множители не раскладывается |
Сначала вычисли дискриминант, затем найди подходящую строку таблицы. При D > 0 подставь оба корня в формулу, а при D = 0 используй один и тот же множитель дважды. Если D < 0, не записывай действительные линейные множители: их нет.
В выражении коэффициенты a = 1, b = −5, c = 6. Чтобы узнать, какие линейные множители подойдут, сначала найдём корни уравнения x² − 5x + 6 = 0. Именно корни определят числа в скобках, а умножение в конце позволит проверить ответ.
Ответ: (x − 2)(x − 3).
Здесь a = 2, b = 4, c = 2, поэтому нельзя забывать о коэффициенте 2 перед произведением. Сначала определим число корней с помощью дискриминанта. Если корень окажется двойным, разложение будет квадратом одного множителя.
Ответ: 2(x + 1)².
Чтобы решить уравнение, представим левую часть как произведение множителей. Затем используем свойство: произведение равно нулю, если хотя бы один его множитель равен нулю. Поэтому сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения, а потом запишем разложение.
Ответ: x = 1/3 или x = 2.
Иногда записывают (x − x₁)(x − x₂), но забывают множитель a. Тогда при раскрытии скобок коэффициент при x² получается равным 1, а не исходному a. Ошибку допускают, потому что сосредотачиваются на корнях и не проверяют старший коэффициент. Для самопроверки раскрой скобки и сравни коэффициент при x² с исходным выражением.
Другая ошибка — неверный знак в скобке: пишут x + x₁ вместо x − x₁. Она возникает из-за того, что корень может быть отрицательным, и знаки легко перепутать. Подставь корень в предполагаемый множитель: при x = x₁ именно выражение x − x₁ должно обратиться в нуль. Например, корню −1 соответствует x − (−1) = x + 1.
При D = 0 иногда записывают два разных множителя, хотя корень только один и оба множителя должны совпадать. Причина — механическое применение формулы для двух корней, не проверив дискриминант. Проверь D и вычисли корень: при нуле дискриминанта разложение имеет вид a(x − x₀)². Раскрытие квадрата подтвердит, что получился исходный трёхчлен.
Отрицательный дискриминант не означает, что выражение вообще нельзя разложить ни при каких условиях. Он означает только, что нет разложения на линейные множители с действительными коэффициентами. Ошибка появляется, когда не уточняют, над какими числами выполняется разложение. Убедись, что речь идёт о действительных числах: при D < 0 действительных корней нет, но над комплексными числами множители возможны.
Для разложения нужно уметь вычислять дискриминант и находить корни квадратного уравнения. Также пригодятся раскрытие скобок и умножение многочленов: эти действия помогают проверить полученный результат. Значит, разложение связывает решение уравнений с преобразованием выражений. Освоив его, легче решать квадратные уравнения, сокращать дроби с многочленами и упрощать алгебраические выражения.
Что называют квадратным трёхчленом?
Это выражение вида ax² + bx + c, где a, b и c — числа, а коэффициент a не равен нулю. Оно называется квадратным, потому что наибольшая степень переменной x равна двум.
Как связаны корни уравнения и множители трёхчлена?
Корень уравнения — это значение x, при котором квадратный трёхчлен равен нулю. Если корни равны x₁ и x₂, трёхчлен можно записать как a(x − x₁)(x − x₂). Каждый множитель обращается в нуль при соответствующем корне.
Почему в разложении нужно сохранять коэффициент a?
Без a произведение (x − x₁)(x − x₂) имеет коэффициент 1 при x². У исходного трёхчлена коэффициент при x² равен a, поэтому множитель a необходим, чтобы разложение совпадало с ним.
Как выглядит разложение, если дискриминант равен нулю?
При D = 0 у квадратного уравнения один двойной корень x₀ = −b/(2a). Трёхчлен раскладывается в квадрат одного множителя: a(x − x₀)².
Можно ли разложить на действительные линейные множители трёхчлен с отрицательным дискриминантом?
Нет, если речь идёт о линейных множителях с действительными коэффициентами. При D < 0 квадратное уравнение не имеет действительных корней, поэтому получить такие множители указанным способом нельзя. Над комплексными числами разложение возможно.
§ 22. Квадратный трехчлен
