"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c с ненулевым коэффициентом a. Он связан с квадратным уравнением: значения x, при которых трёхчлен равен нулю, называют его корнями. По дискриминанту можно определить, сколько действительных корней существует, а найденные корни помогают записать трёхчлен в виде произведения множителей. Это удобно при решении уравнений и неравенств и при проверке преобразований.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный трёхчлен — выражение вида ax² + bx + c, где a ≠ 0. Здесь a, b и c — коэффициенты: a стоит при x², b — при x, а c является свободным членом. Условие a ≠ 0 означает, что выражение действительно содержит член со второй степенью переменной. По коэффициентам можно составить уравнение и определить, как устроены корни выражения.
Корень квадратного трёхчлена — значение переменной, при котором трёхчлен обращается в нуль. Чтобы найти такие значения, составляют уравнение ax² + bx + c = 0 и решают его. Поэтому корни трёхчлена совпадают с решениями соответствующего квадратного уравнения. Это понятие позволяет перейти от выражения к уравнению, у которого есть известные способы решения.
Дискриминант квадратного трёхчлена — выражение D = b² − 4ac, составленное из его коэффициентов. Его значение показывает, сколько действительных корней имеет трёхчлен: два, один или ни одного. Дискриминант удобно вычислить до применения формулы корней, чтобы понять, каких результатов ожидать. При расчёте важно подставлять коэффициенты вместе с их знаками.
Разложение квадратного трёхчлена на множители — представление его в виде произведения выражений, при умножении которых получается исходный трёхчлен. Если известны корни, множители строят по ним: каждому корню соответствует скобка с выражением x минус этот корень. Разложение помогает решать уравнения и неравенства, потому что произведение равно нулю, когда хотя бы один его множитель равен нулю. Коэффициент при x² при этом тоже нужно сохранить.
Чтобы найти корни трёхчлена, приравнивают его к нулю: ax² + bx + c = 0. Это не меняет задачу, потому что корнем по определению является именно такое значение x, при котором исходное выражение равно нулю. Полученное равенство — квадратное уравнение, его решают знакомым способом. Если корней нет среди действительных чисел, значит, трёхчлен не обращается в нуль ни при каком действительном x.
Число корней определяет дискриминант D = b² − 4ac. Это следует из формулы корней: x = (−b ± √D) / 2a, где знак ± даёт два возможных значения. При D > 0 под корнем стоит положительное число, поэтому получаются два разных действительных корня. При D = 0 оба значения совпадают, а при D < 0 квадратный корень из D не является действительным числом, поэтому действительных корней нет.
Если корни равны x₁ и x₂, то трёхчлен можно представить как a(x − x₁)(x − x₂). Причина в том, что при x = x₁ первый множитель обращается в нуль, а при x = x₂ нулём становится второй; значит, произведение имеет те же корни. Множитель a нужен, потому что без него коэффициент при x² после раскрытия скобок был бы равен 1. Формула сохраняет и корни, и старший коэффициент исходного трёхчлена.
Когда D = 0, оба корня совпадают: x₁ = x₂ = x₀. Поэтому два одинаковых множителя можно записать как квадрат одной скобки: a(x − x₀)(x − x₀) = a(x − x₀)². При D < 0 действительных корней нет, а линейный множитель с действительными коэффициентами обращается в нуль при некотором действительном x. Значит, произведение таких множителей имело бы действительный корень, и разложить трёхчлен с D < 0 на них нельзя.
Разложение можно проверить обратным действием — раскрытием скобок. Сначала перемножают скобки, затем умножают результат на a и приводят подобные слагаемые. Коэффициенты при x², x и свободный член должны совпасть с коэффициентами исходного трёхчлена. Если хотя бы один отличается, нужно проверить корни, знаки в скобках и наличие множителя a.
| Условие | Действительные корни | Вид разложения на линейные множители |
|---|---|---|
| D > 0 | Два различных корня x₁ и x₂ | a(x − x₁)(x − x₂) |
| D = 0 | Один корень x₀ | a(x − x₀)² |
| D < 0 | Действительных корней нет | На линейные множители с действительными коэффициентами не раскладывается |
Сначала найдите знак D, затем выберите в таблице строку с подходящим условием. Если корни есть, подставьте их в указанный вид разложения и не забудьте множитель a. Таблица относится к разложению на линейные множители с действительными коэффициентами.
Приравняем трёхчлен к нулю: x² − 5x + 6 = 0. Здесь a = 1, b = −5, c = 6, поэтому можно вычислить дискриминант. Особенно внимательно учитываем, что коэффициент b отрицательный.
Вычислим D = b² − 4ac = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Дискриминант положительный, значит, у уравнения два различных действительных корня. Теперь применим формулу корней.
x = (−b ± √D) / 2a = (5 ± 1) / 2. Получаем x₁ = 3 и x₂ = 2. Ответ: корни трёхчлена — 2 и 3.
Сначала найдём корни уравнения 2x² − 5x + 2 = 0. Его коэффициенты: a = 2, b = −5, c = 2, поэтому D = 25 − 16 = 9. Положительный дискриминант означает, что разложение будет содержать две разные линейные скобки.
Вычисляем корни: x = (5 ± 3) / 4. Получаем x₁ = 2 и x₂ = ½. Подставляем их в формулу a(x − x₁)(x − x₂), сохраняя множитель 2 перед скобками.
Получаем 2(x − 2)(x − ½). Чтобы избежать дроби внутри скобки, можно записать равное произведение (2x − 1)(x − 2). Проверка: раскрытие скобок даёт 2x² − 5x + 2. Ответ: (2x − 1)(x − 2).
Если 2 — корень, подставим x = 2 в трёхчлен и приравняем результат к нулю. Получаем 2 · 2² + (m − 1) · 2 − 3 = 0. Так условие о корне превращается в уравнение для параметра m.
Упростим: 8 + 2m − 2 − 3 = 0, значит, 2m + 3 = 0 и m = −3/2. Подставим найденное значение в трёхчлен: 2x² − 5/2x − 3. Чтобы удобнее вычислить корни, умножим уравнение на 2, получив 4x² − 5x − 6 = 0.
Дискриминант равен D = 25 + 96 = 121, поэтому корни равны (5 ± 11) / 8: это 2 и −3/4. Для исходного трёхчлена получаем разложение 2(x − 2)(x + 3/4), или (x − 2)(2x + 3/2). При раскрытии скобок получается 2x² − 5/2x − 3. Ответ: m = −3/2; разложение — 2(x − 2)(x + 3/4).
Иногда к квадратным трёхчленам относят выражения, у которых a = 0. Тогда член x² исчезает, и выражение становится линейным или постоянным, то есть уже не соответствует определению. Ошибку допускают, если смотрят только на число слагаемых, а не на степень переменной. Для проверки найдите коэффициент при x² и убедитесь, что он не равен нулю.
При вычислении D могут забыть возвести b в квадрат или неверно учесть знак c в произведении 4ac. Например, если c отрицательно, вычитание отрицательного числа превращается в сложение. Перед вычислениями выпишите a, b и c со знаками, а затем подставьте их в D = b² − 4ac с использованием скобок. Повторная проверка каждого действия помогает не перепутать знаки.
В разложении могут записать только (x − x₁)(x − x₂), забыв множитель a. Такое бывает, если запомнили вид скобок, но не проверили старший коэффициент. При раскрытии произведения без a коэффициент при x² будет 1, что не совпадает с исходным выражением, если a ≠ 1. Проверьте именно коэффициент при x²: он должен остаться равным a.
При D < 0 иногда утверждают, что трёхчлен имеет корень или раскладывается на действительные линейные множители. Причина ошибки — применение формулы разложения без проверки наличия действительных корней. Но линейный множитель с действительными коэффициентами обращается в нуль при действительном значении x, а у трёхчлена с отрицательным D таких значений нет. Сверьте знак D и используйте формулировку: действительных корней нет.
До изучения квадратного трёхчлена нужно уметь решать квадратные уравнения и вычислять их дискриминант: именно так находят корни выражения. Навык разложения многочлена на множители пригодится при решении уравнений, поскольку произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Он также помогает решать неравенства: после разложения проще определить, на каких промежутках выражение положительно или отрицательно. Поэтому корни и множители связывают вычисления с дальнейшим исследованием выражений.
Чем квадратный трёхчлен отличается от квадратного уравнения?
Квадратный трёхчлен ax² + bx + c — это выражение, а квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 — равенство, которое нужно решить. Корнями трёхчлена называют решения соответствующего уравнения.
Можно ли найти корни трёхчлена, если его дискриминант отрицателен?
Действительных корней при D < 0 нет, поэтому формула не даёт действительных значений x. Если в задаче рассматриваются только действительные числа, говорят, что трёхчлен не имеет корней.
Почему в разложении на множители обязательно сохраняется коэффициент a?
Произведение (x − x₁)(x − x₂) при раскрытии скобок имеет старший коэффициент 1. Исходный трёхчлен имеет при x² коэффициент a, поэтому перед произведением нужно поставить a.
Как записать разложение, если дискриминант равен нулю?
При D = 0 существует один корень x₀, который является двукратным. Разложение записывают так: a(x − x₀)².
Как проверить, что трёхчлен разложен на множители правильно?
Раскройте скобки в полученном произведении и приведите подобные слагаемые. Если коэффициенты при x², x и свободный член совпадают с исходными, разложение верно.
§2. Квадратный трехчлен
