Квадратный трехчлен и его корни

Определения и обозначения

Квадратный трёхчлен — многочлен вида ax² + bx + c, где a ≠ 0. Число a — коэффициент при x², b — коэффициент при x, а c — свободный член, не содержащий переменную. По этим коэффициентам находят дискриминант и определяют свойства трёхчлена.

Корень квадратного трёхчлена — такое значение переменной, при котором трёхчлен обращается в нуль. Чтобы найти корни, выражение ax² + bx + c приравнивают к нулю и решают полученное квадратное уравнение. Корни показывают, при каких значениях x трёхчлен имеет значение 0.

Разложение квадратного трёхчлена на множители — представление его в виде произведения линейных множителей. Если корни различны, используют запись a(x − x₁)(x − x₂), а если корень повторяется, получают a(x − x₀)². Такое представление связывает вычисленные корни с множителями и упрощает дальнейшее решение задач.

Как это устроено

Условие a ≠ 0 необходимо потому, что именно слагаемое ax² делает многочлен квадратным. При a = 0 выражение превращается в bx + c, то есть становится линейным, если b ≠ 0, или постоянным. Для таких выражений применяются другие способы решения и разложения.

Нахождение корней сводится к решению уравнения ax² + bx + c = 0, потому что корень по определению обнуляет трёхчлен. Сначала выписывают коэффициенты a, b и c, затем вычисляют D = b² − 4ac. При D ≥ 0 корни находят по формулам x₁ = (−b + √D)/(2a) и x₂ = (−b − √D)/(2a), учитывая, что при D = 0 значения совпадают.

Дискриминант определяет число действительных корней, поскольку он показывает, существует ли действительное значение под корнем в формуле корней. При D > 0 квадратный корень из D ненулевой, поэтому получаются два разных корня. При D = 0 оба выражения дают одно значение, а при D < 0 √D не является действительным числом, поэтому действительных корней нет.

Если корни x₁ и x₂ найдены, трёхчлен можно записать как a(x − x₁)(x − x₂). Коэффициент a сохраняется перед скобками, потому что произведение двух скобок даёт старший член x², а исходный старший коэффициент равен a. При равных корнях x₁ = x₂ = x₀ две одинаковые скобки объединяются: a(x − x₀)².

Проверка нужна, чтобы обнаружить ошибку в знаке или коэффициенте. Для этого раскрывают скобки: a(x − x₁)(x − x₂) = a(x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂), а затем сравнивают коэффициенты при x², x и свободный член с исходными. Если все три коэффициента совпали, разложение выполнено правильно.

Дискриминант, корни и разложение квадратного трёхчлена

Сначала по коэффициентам вычислите D и найдите строку с нужным условием. Затем используйте соответствующий вид разложения. При D = 0 один и тот же корень учитывается дважды, поэтому множитель возводится в квадрат.

Разбор задач

Задача 1

Найдите корни трёхчлена x² − 5x + 6 и разложите его на множители. Здесь a = 1, b = −5, c = 6, поэтому удобно начать с дискриминанта и проверить число корней.

1. Вычислим дискриминант: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
2. Так как D > 0, корней два: x₁ = (5 + 1)/2 = 3, x₂ = (5 − 1)/2 = 2.
3. Каждому корню соответствует множитель с противоположным знаком: x − 3 и x − 2. Поэтому x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).

Ответ: x₁ = 3, x₂ = 2; разложение — (x − 3)(x − 2). Раскрытие скобок даёт x² − 5x + 6, значит, результат подтверждён.

Задача 2

Разложите на множители трёхчлен 2x² − 8x + 8. В данном случае a = 2, b = −8, c = 8, а наличие одинаковых корней можно установить по дискриминанту.

1. Находим D: D = (−8)² − 4 · 2 · 8 = 64 − 64 = 0.
2. Единственный корень равен x₀ = −(−8)/(2 · 2) = 2. Он имеет кратность два, то есть учитывается два раза.
3. Сохраняем старший коэффициент 2 и записываем квадрат множителя: 2x² − 8x + 8 = 2(x − 2)².

Ответ: 2(x − 2)². После раскрытия скобок получаем 2(x² − 4x + 4) = 2x² − 8x + 8.

Задача 3

Определите, имеет ли трёхчлен 3x² + 2x + 4 действительные корни, и можно ли разложить его на линейные множители над действительными числами. Здесь a = 3, b = 2, c = 4, поэтому достаточно исследовать знак дискриминанта.

1. Вычислим D: D = 2² − 4 · 3 · 4 = 4 − 48 = −44.
2. Получили D < 0, значит, действительных корней нет.
3. Линейный множитель над действительными числами обращается в нуль при некотором действительном x. Произведение таких множителей тоже имело бы действительный корень, поэтому данный трёхчлен на них не раскладывается.

Ответ: действительных корней нет; разложение на линейные множители над действительными числами невозможно.

Типичные ошибки

Забывают условие a ≠ 0 и называют квадратным трёхчленом выражение без x². Так происходит, когда смотрят только на количество слагаемых, а не на степень переменной. Проверьте, что коэффициент при x² действительно ненулевой.

Ошибаются в дискриминанте, особенно в части −4ac. Причина часто в том, что отрицательные коэффициенты подставляют без знака. Запишите a, b и c отдельно и подставьте их в скобках.

Путают знак корня и множителя: корню x₁ соответствует (x − x₁), а не (x + x₁). Например, корню 3 соответствует x − 3, потому что именно этот множитель обращается в нуль при x = 3. Проверка подстановкой сразу выявляет ошибку.

При D = 0 записывают два разных корня или разных множителя. На самом деле один корень повторяется дважды, поэтому разложение имеет вид a(x − x₀)². Раскройте квадрат и сравните результат с исходным выражением.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь решать квадратные уравнения, вычислять дискриминант и применять формулы корней. Эти навыки превращают исследование трёхчлена в последовательность понятных действий: найти коэффициенты, определить D, вычислить корни.

Разложение на множители используется при решении уравнений и неравенств: произведение удобно приравнивать к нулю и исследовать по промежуткам. Оно также помогает изучать квадратичную функцию, поскольку корни показывают точки пересечения её графика с осью x.

Что запомнить

• Квадратный трёхчлен имеет вид ax² + bx + c, где a ≠ 0.
• Корни трёхчлена — решения уравнения ax² + bx + c = 0.
• Знак дискриминанта определяет число действительных корней.
• При двух корнях x₁ и x₂ трёхчлен равен a(x − x₁)(x − x₂).
• При одном корне x₀ трёхчлен равен a(x − x₀)².
• Разложение на множители можно проверить раскрытием скобок.