Разложение квадратного трехчлена на мно­жители

Определения и обозначения

Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c, где a, b и c — числа, а a ≠ 0. Если бы a равнялось нулю, слагаемое с x² исчезло бы и выражение стало бы линейным или постоянным. Поэтому условие a ≠ 0 отличает квадратный трёхчлен от выражений меньшей степени. Буква a также задаёт коэффициент при старшей степени x.

Корень квадратного трёхчлена — такое значение x, при котором ax² + bx + c = 0. Это то же самое, что корень соответствующего квадратного уравнения. Корни нужны, чтобы определить, на какие линейные множители можно разложить трёхчлен. Если x₁ — корень, ему соответствует множитель x − x₁.

Дискриминант квадратного трёхчлена — число D = b² − 4ac. По его знаку определяют число действительных корней, не решая уравнение наугад. Положительный D означает два корня, нулевой — один, а отрицательный — отсутствие действительных корней. Значит, дискриминант помогает заранее понять, возможно ли разложение на действительные линейные множители.

Разложение квадратного трёхчлена на множители — запись выражения в виде произведения более простых выражений. Если действительные корни равны x₁ и x₂, то ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Такую форму удобно использовать, когда нужно найти нули выражения или исследовать его знак. Коэффициент a в записи сохраняет исходный коэффициент при x².

Как это устроено

Почему корню соответствует множитель x − x₁? Если подставить корень x₁ в многочлен, значение получится нулевым, а значит, остаток при делении многочлена на x − x₁ равен нулю. По теореме о разложении многочлена на множители это означает, что многочлен делится на x − x₁ без остатка. Поэтому найденный корень сразу задаёт один из линейных множителей.

Если у квадратного трёхчлена два корня x₁ и x₂, оба выражения x − x₁ и x − x₂ являются множителями. Их произведение имеет степень 2, как и исходный трёхчлен, поэтому после деления исходного выражения на это произведение остаётся постоянный множитель. При раскрытии скобок коэффициент при x² в произведении равен 1, а у исходного трёхчлена он равен a. Значит, постоянный множитель должен быть a, и получается ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Чтобы найти корни, сначала вычисляют D = b² − 4ac. Если D ≥ 0, применяют формулу x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a), затем каждый найденный корень подставляют в выражение x − x₁ или x − x₂. Например, корню 4 соответствует x − 4, а корню −1 — x + 1. После этого перед произведением оставляют коэффициент a.

Знак дискриминанта определяет вид разложения. При D > 0 есть два различных действительных корня, значит, возникают два линейных множителя. При D = 0 формула даёт один корень x₀, который учитывается дважды, поэтому разложение имеет вид a(x − x₀)². При D < 0 действительных корней нет, а значит, нельзя получить произведение действительных линейных множителей.

Перед поиском корней стоит осмотреть само выражение. Если все слагаемые имеют общий множитель, его можно вынести, а оставшуюся часть исследовать отдельно. Иногда выражение сразу подходит под формулу сокращённого умножения, например разность квадратов. Эти приёмы могут дать более короткую запись и избавить от громоздких вычислений дискриминанта.

Связь дискриминанта, корней и разложения

Сначала найдите знак D, а затем выберите соответствующую строку таблицы. При D ≥ 0 подставьте корни в формулы множителей и не забудьте коэффициент a. При отрицательном дискриминанте таблица говорит именно об отсутствии действительных линейных множителей.

Разбор задач

Разложить x² − 5x + 6 на множители

1. Здесь a = 1, b = −5, c = 6. Вычисляем D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
2. Находим корни: x₁,₂ = (5 ± 1)/2. Получаем x₁ = 3 и x₂ = 2.
3. Корням соответствуют множители x − 3 и x − 2. Коэффициент a равен 1, поэтому отдельно его можно не писать.

Ответ: x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2). Здесь удобно проверить, что сумма корней равна 5, а произведение — 6, но окончательная проверка выполняется раскрытием скобок. Получаем x² − 5x + 6, как и требовалось.

Разложить 2x² − 7x + 3 на множители

1. Определяем коэффициенты: a = 2, b = −7, c = 3. Дискриминант равен D = (−7)² − 4 · 2 · 3 = 49 − 24 = 25.
2. Корни: x₁,₂ = (7 ± 5)/4. Поэтому x₁ = 3, а x₂ = ½.
3. Записываем множители по корням и сохраняем a = 2: 2(x − 3)(x − ½). Чтобы убрать дробь из скобки, можно преобразовать запись в (x − 3)(2x − 1).

Ответ: 2x² − 7x + 3 = (x − 3)(2x − 1). Раскрытие скобок даёт 2x² − x − 6x + 3, то есть 2x² − 7x + 3. Проверка подтверждает, что множитель 2 учтён правильно.

Разложить x² − 4x − 1 на множители над действительными числами

1. Коэффициенты равны a = 1, b = −4, c = −1. Тогда D = (−4)² − 4 · 1 · (−1) = 16 + 4 = 20.
2. Находим корни: x₁,₂ = (4 ± √20)/2. Так как √20 = 2√5, корни равны 2 + √5 и 2 − √5.
3. Подставляем корни в линейные множители. Коэффициент a равен 1, поэтому произведение записывается без дополнительного числового множителя.

Ответ: x² − 4x − 1 = (x − 2 − √5)(x − 2 + √5). Радикалы оставляем в точном виде, чтобы не вносить ошибку округления. При раскрытии скобок получается (x − 2)² − 5 = x² − 4x − 1.

Типичные ошибки

Первая ошибка — записать только (x − x₁)(x − x₂), забыв коэффициент a. Так делают, потому что сосредоточиваются на корнях и не проверяют старший коэффициент. Раскрытие скобок сразу показывает проблему: коэффициент при x² получится 1, а не a. Сохраняйте множитель a или проверьте его отдельно.

Вторая ошибка — перепутать знак в скобке и написать x + x₁ вместо x − x₁. Обычно это происходит потому, что знак корня мысленно переносят в скобки неправильно. Подставьте корень в свой множитель: при x = x₁ выражение x − x₁ должно обращаться в ноль. Например, корню −2 соответствует x + 2.

Третья ошибка — неверно вычислить D или перепутать знаки в формуле корней. Тогда множители не дадут исходный трёхчлен, даже если запись выглядит правдоподобно. Особенно внимательно учитывайте отрицательное значение b и знак c при вычислении b² − 4ac. Пересчитайте дискриминант и проверьте результат раскрытием скобок.

Четвёртая ошибка — утверждать, что при D < 0 трёхчлен вообще нельзя разложить. Такой вывод слишком широк: в данном случае отсутствует разложение на линейные множители именно над действительными числами. Уточняйте, в какой числовой области рассматривается задача. Для школьного разложения с действительными коэффициентами проверьте, есть ли действительные корни.

Связь с другими темами

Для разложения нужно уметь вычислять дискриминант и решать квадратные уравнения, потому что корни задают множители. Вынесение общего множителя и формулы сокращённого умножения позволяют упростить выражение ещё до применения формулы корней. Разложение пригодится при решении неравенств: по множителям легче определить, где выражение положительно или отрицательно. Оно также помогает сокращать дроби и исследовать квадратичную функцию.

Что запомнить

• В квадратном трёхчлене ax² + bx + c коэффициент a отличен от нуля.
• Дискриминант равен D = b² − 4ac.
• Если корни действительные, то ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
• При D > 0 трёхчлен имеет два различных действительных корня.
• При D = 0 разложение имеет вид a(x − x₀)².
• При D < 0 действительных корней и линейных множителей над действительными числами нет.
• Правильность разложения можно проверить раскрытием скобок.