§3. Квадратичная функция и её график

Определения и обозначения

Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a, b и c — числа, а a ≠ 0. Если a равен нулю, слагаемое с x² исчезает и получается линейная или постоянная функция. Условие a ≠ 0 позволяет отличить квадратичную зависимость от этих более простых видов.

Парабола — график квадратичной функции. Её форма связана с коэффициентом a: при положительном a ветви направлены вверх, при отрицательном — вниз. Понимая это, можно заранее представить общий вид графика и проверить, правильно ли он построен.

Вершина параболы — точка, в которой квадратичная функция достигает наибольшего или наименьшего значения. Если ветви направлены вверх, в вершине находится минимум, если вниз — максимум. Эта точка помогает быстро определить экстремальное значение функции.

Ось симметрии параболы — вертикальная прямая, относительно которой график симметричен. Точки параболы, расположенные на одинаковом расстоянии от этой прямой, имеют одинаковые значения y. Ось нужна, чтобы находить вершину и строить график, не вычисляя много точек.

Как это устроено

Чтобы выделить вершину, формулу y = ax² + bx + c преобразуют к виду y = a(x − m)² + n. Для этого выражение с x представляют как полный квадрат: сначала выносят a за скобки у слагаемых с x, а затем добавляют и вычитают нужное число. В новой записи видно, что квадрат выражения неотрицателен, а его наименьшее значение равно нулю. Оно достигается при x = m, поэтому вершина имеет координаты (m; n).

Из выделения полного квадрата получают m = −b/(2a) и n = c − b²/(4a). Значит, абсциссу вершины можно найти прямо по коэффициентам, а ординату — подстановкой или по формуле. Если уравнение функции имеет два корня x₁ и x₂, парабола симметрична относительно вертикальной прямой посередине между ними: её абсцисса равна (x₁ + x₂)/2. Этот способ работает, потому что оба корня лежат на одинаковом расстоянии от оси симметрии.

Коэффициент a определяет направление ветвей: знак множителя при квадрате задаёт, растёт или убывает значение выражения a(x − m)² при удалении от вершины. При a > 0 квадрат умножается на положительное число, поэтому значения увеличиваются вверх; при a < 0 — уменьшаются вниз. Модуль a влияет на ширину: при большом |a| значения быстрее удаляются от вершины, и парабола получается более узкой. При малом |a| она шире.

Коэффициент c задаёт значение функции при x = 0, поскольку остальные слагаемые тогда обращаются в ноль. Поэтому график пересекает ось y в точке (0; c). Коэффициент b вместе с a определяет положение вершины и оси симметрии по формуле x = −b/(2a). Если менять b при неизменных a и c, точка пересечения с осью y останется прежней, но вершина и ось симметрии переместятся.

Нули функции — значения x, при которых y = 0; их находят, решая уравнение ax² + bx + c = 0. Дискриминант D = b² − 4ac показывает, сколько у этого уравнения действительных корней. При D > 0 парабола пересекает ось x в двух точках, при D = 0 касается её в одной точке, а при D < 0 не имеет с осью x общих точек. Так вычисление дискриминанта связывает свойства уравнения с расположением графика.

Свойства квадратичной функции y = ax² + bx + c

Чтобы использовать таблицу, сначала выпишите коэффициенты a, b и c и определите знак a. Затем вычислите координаты вершины и дискриминант, если нужно узнать пересечения с осью x. Для промежутков возрастания и убывания сравните x с абсциссой вершины.

Разбор задач

Вершина, ось симметрии и нули функции

Найдём свойства функции y = x² − 4x + 3. Сначала преобразуем выражение, чтобы увидеть вершину, а затем разложим квадратный трёхчлен на множители для поиска нулей. Коэффициент при x² положителен, поэтому ветви должны быть направлены вверх.

1. Выделим полный квадрат: x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1. Значит, вершина параболы — точка (2; −1).
2. Абсцисса вершины равна 2, поэтому ось симметрии имеет уравнение x = 2.
3. Решим уравнение x² − 4x + 3 = 0: разложим левую часть на множители (x − 1)(x − 3) = 0. Получаем нули x = 1 и x = 3.
4. Так как a = 1 > 0, ветви параболы направлены вверх. Проверка симметрии: корни 1 и 3 находятся на одинаковом расстоянии от x = 2.

Ответ: вершина (2; −1), ось симметрии x = 2, нули 1 и 3, ветви направлены вверх.

График и наибольшее значение

Построим график y = −2x² + 4x + 6 и найдём наибольшее значение функции. Поскольку коэффициент a отрицателен, ветви направлены вниз, поэтому вершина будет точкой максимума. Для построения удобно сначала найти вершину, а затем взять пары точек, симметричных относительно оси.

1. Вычислим абсциссу вершины: x = −4/(2 · (−2)) = 1.
2. Подставим x = 1: y = −2 + 4 + 6 = 8. Вершина — (1; 8), ось симметрии — x = 1.
3. Возьмём точки по обе стороны от оси: при x = 0 и x = 2 получаем y = 6. При x = −1 и x = 3 получаем y = 0. Эти пары симметричны относительно x = 1.
4. Отметим вершину и найденные точки, затем проведём плавную параболу. Так как ветви направлены вниз, выше вершины график не поднимается.

Ответ: график проходит через точки (1; 8), (0; 6), (2; 6), (−1; 0), (3; 0); наибольшее значение функции равно 8.

Условие касания оси x

Найдём p, при котором график y = x² + px + 4 касается оси x. Касание означает, что у графика с осью есть ровно одна общая точка. Это происходит тогда, когда уравнение x² + px + 4 = 0 имеет единственный действительный корень, то есть его дискриминант равен нулю.

1. Выпишем коэффициенты: a = 1, b = p, c = 4.
2. Запишем условие единственного корня: D = b² − 4ac = 0.
3. Подставим коэффициенты: p² − 4 · 1 · 4 = 0, поэтому p² − 16 = 0.
4. Решим уравнение: p² = 16, откуда p = −4 или p = 4. В обоих случаях дискриминант равен нулю, значит график касается оси x.

Ответ: p = −4 или p = 4.

Типичные ошибки

Ошибка — считать функцию квадратичной при a = 0. Так бывает, если ориентироваться только на наличие букв в формуле и не проверить коэффициент при x². При a = 0 этот член пропадает, поэтому получается линейная или постоянная функция. Для самопроверки убедитесь, что коэффициент перед x² не равен нулю.

Некоторые считают, что положительный коэффициент a направляет ветви вниз, а отрицательный — вверх. Это происходит из-за путаницы между знаком коэффициента и знаком значений функции. Проверка проста: рассмотрите y = ax² при больших по модулю x — при a > 0 значения положительны, а при a < 0 отрицательны. Значит, ветви направлены соответственно вверх и вниз.

При поиске вершины часто записывают x = b/(2a), забывая минус. Ошибка появляется при механическом запоминании формулы без проверки преобразования. Верная формула — x = −b/(2a); например, у y = x² − 4x + 3 абсцисса вершины равна 2, а не −2. Проверить результат можно выделением полного квадрата.

Число пересечений с осью x нельзя надёжно определять по приблизительному рисунку: масштаб или неточность построения могут скрыть касание либо близкие корни. Вместо этого решите уравнение y = 0 или найдите дискриминант. При D > 0 будут два пересечения, при D = 0 — одно, при D < 0 — ни одного. После вычисления полезно подставить найденные корни в исходное уравнение.

Связь с другими темами

Для работы с квадратичной функцией нужны навыки преобразования выражений, выделения полного квадрата и решения квадратных уравнений. Они помогают находить вершину, нули и точки пересечения с осями. Квадратичная функция, в свою очередь, применяется при решении задач на наибольшее и наименьшее значение, исследовании квадратных неравенств и построении графиков. Свойства параболы позволяют увидеть связь между вычислениями и поведением графика.

Что запомнить

• Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a ≠ 0.
• Её график — парабола.
• Ось симметрии имеет уравнение x = −b/(2a).
• Вершина параболы имеет координаты (−b/(2a); c − b²/(4a)).
• При a > 0 парабола направлена вверх, при a < 0 — вниз.
• Дискриминант определяет число корней и пересечений графика с осью x.

Как это устроено

Графики y = x², y = 2x² и y = −x² показывают, как коэффициент при x² меняет ширину и направление ветвей. График y = x² + 2 помогает увидеть влияние свободного члена: парабола смещается вверх на 2 единицы.