7.4. Квадратичная функция и её график

Определения и обозначения

Квадратичная функция — это функция вида y = ax² + bx + c, где a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Буква x обозначает аргумент, а y — соответствующее ему значение функции. Условие a ≠ 0 нужно потому, что при a = 0 слагаемое с x² исчезает и получится уже линейная функция.

Парабола — график квадратичной функции. Вершина параболы — её самая нижняя точка, если ветви направлены вверх, или самая верхняя, если ветви направлены вниз. Ось симметрии делит параболу на две зеркально одинаковые части, поэтому эти понятия помогают правильно построить график и увидеть, где функция принимает наибольшее или наименьшее значение.

Как это устроено

В формуле y = ax² + bx + c особенно важен коэффициент a: именно слагаемое ax² определяет, что график будет параболой. Если a > 0, при больших по модулю значениях x значение ax² становится положительным, поэтому обе ветви поднимаются вверх. Если a < 0, это слагаемое отрицательно и ветви направлены вниз. Чем больше |a|, тем быстрее меняется значение функции при удалении от вершины, поэтому парабола получается уже.

Коэффициент b влияет на положение параболы по горизонтали вместе с a, а c задаёт значение функции при x = 0: f(0) = c. Значит, точка пересечения графика с осью y имеет координаты (0; c). Однако одной этой точки недостаточно для построения: важно найти вершину и учитывать симметрию графика.

Чтобы определить ось симметрии, квадратный трёхчлен удобно представить в виде a(x − x₀)² + y₀. Для этого выделяют полный квадрат, то есть преобразуют выражение так, чтобы в скобках стоял квадрат разности. Получается x₀ = −b/(2a), а y₀ = f(x₀) = c − b²/(4a). Поэтому координаты вершины равны (x₀; y₀), а ось симметрии задаётся уравнением x = x₀. Такое преобразование показывает, почему вершина зависит от всех коэффициентов.

Вершина задаёт точку, от которой удобно строить график: при a > 0 она является точкой минимума, а при a < 0 — точкой максимума. Точки, находящиеся на одинаковом расстоянии слева и справа от оси симметрии, имеют одинаковые значения y. Это следует из того, что в записи y = a(x − x₀)² + y₀ отклонение от вершины зависит от квадрата разности x − x₀. Поэтому, найдя одну точку, можно получить парную ей точку отражением относительно оси.

Нули функции — это значения x, при которых y = 0; на графике они соответствуют точкам пересечения параболы с осью x. Они могут существовать в количестве двух, одного или ни одного: результат зависит от того, пересекает ли парабола эту ось. Если вершина выше оси x и ветви направлены вверх, пересечений нет; если вершина лежит на оси, есть одно касание. Положение графика помогает проверить решение уравнения ax² + bx + c = 0.

Основные свойства квадратичной функции

Пользуйся таблицей по порядку: сначала определи знак a и направление ветвей, затем вычисли вершину и ось симметрии. После этого можно отметить точку (0; c), найти ещё несколько точек и проверить, где график пересекает ось x.

Разбор задач

Задача. Построить график функции y = x² − 4x + 3 и определить её наименьшее значение и нули. Сначала нужно узнать положение вершины, потому что она задаёт ось симметрии и показывает минимум. Затем отметим удобные точки, используя симметрию, и отдельно проверим пересечения с осью x.

1. Определяем коэффициенты: a = 1, b = −4, c = 3. Так как a > 0, ветви параболы будут направлены вверх, значит, вершина задаёт наименьшее значение функции.
2. Находим абсциссу вершины: x₀ = −b/(2a) = −(−4)/(2 · 1) = 2. Подставляем x₀ в функцию: y₀ = 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Вершина имеет координаты (2; −1), а ось симметрии — x = 2.
3. Для построения берём симметричные относительно x = 2 значения. При x = 1 и x = 3 получаем y = 0; при x = 0 и x = 4 получаем y = 3. Значит, отмечаем точки (1; 0), (3; 0), (0; 3), (4; 3) и вершину (2; −1).
4. Проводим через отмеченные точки плавную параболу с ветвями вверх. Нули можно также проверить, разложив выражение: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), поэтому y = 0 при x = 1 и x = 3.

Ответ: вершина (2; −1), ось симметрии x = 2, наименьшее значение функции равно −1; нули функции — 1 и 3. При построении важно соединять точки плавной линией, а не отрезками: график квадратичной функции непрерывен и имеет форму параболы. Симметричные точки помогают заметить ошибку, если их значения или положение относительно оси не совпадают.

Типичные ошибки

• Считают, что ветви направлены вверх при любом a. Так думают, потому что часто сначала изучают примеры с положительным коэффициентом. Проверь знак числа перед x²: при a < 0 ветви направлены вниз.
• Неверно находят ось симметрии. В формуле x₀ = −b/(2a) легко потерять минус или разделить только на часть знаменателя. Подставь найденное значение в равенство 2ax₀ + b = 0: если равенство не выполняется, вычисление нужно проверить.
• Путают координаты вершины. Сначала находят x₀, но забывают подставить его в функцию, чтобы получить y₀. Проверяй, что вершина записана парой (x₀; f(x₀)), а не одним числом.
• Строят параболу по одной-двум точкам или не учитывают симметрию. В таком случае график может пройти не через нужные значения. Найди вершину и хотя бы одну пару симметричных точек; затем проверь, что точки с одинаковым удалением от оси имеют одинаковые y.

Связь с другими темами

Для построения параболы нужны вычисления значений функции: каждому выбранному x подставляют в формулу и находят y. Нули квадратичной функции связаны с решением квадратного уравнения, поскольку при пересечении оси x значение y равно нулю. Понятия координатной плоскости и графика функции помогают перейти от вычислений к изображению, а симметрия объясняет, как достраивать график по паре точек.

Что запомнить

• Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a ≠ 0.
• Её график — парабола: при a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
• Ось симметрии: x = −b/(2a); вершина: (x₀; f(x₀)).
• Чтобы построить график, найди вершину, отметь точки и используй симметрию.
• Нули функции — решения уравнения ax² + bx + c = 0.