§ 8. Дробно-линейная функция

Определения и обозначения

Дробно-линейная функция — функция вида y = (ax + b)/(cx + d), где a, b, c, d — постоянные коэффициенты, а знаменатель не равен нулю. Переменная x находится и в числителе, и в знаменателе, поэтому значение y нельзя находить при любом x. Такой вид удобно преобразовывать, чтобы исследовать и построить график.

Область определения дробно-линейной функции — все значения x, при которых её знаменатель не обращается в нуль. Чтобы её найти, решают уравнение cx + d = 0 и исключают полученный корень. Это сразу показывает, при каком значении аргумента функция не существует.

Асимптота графика — прямая, к которой ветви графика приближаются при некоторых значениях аргумента. У дробно-линейной функции обычно есть вертикальная и горизонтальная асимптоты. Они помогают понять форму графика и построить его без вычисления большого числа точек.

Как это устроено

Если c ≠ 0, знаменатель cx + d обращается в нуль при −d/c: c(−d/c) + d = −d + d = 0. В этой точке происходило бы деление на нуль, поэтому значение x = −d/c не входит в область определения. Кроме того, при приближении к этой точке значения функции обычно неограниченно возрастают по модулю, поэтому возникает вертикальная асимптота.

При c ≠ 0 дробь можно представить в виде y = k/(x − p) + q. Для этого знаменатель записывают так: cx + d = c(x + d/c) = c(x − p), где p = −d/c, а из числителя выделяют часть, пропорциональную x − p: q = a/c, k = (bc − ad)/c². Получается формула (ax + b)/(cx + d) = k/(x − p) + q, если ad − bc ≠ 0; такое преобразование сразу показывает главные свойства графика.

Функция y = k/(x − p) + q получается из y = k/x двумя сдвигами. Замена x на x − p переносит график на p единиц вправо, а прибавление q переносит его на q единиц вверх или вниз. Исходный график y = k/x имеет две ветви, и сдвиги сохраняют их раздельность, поэтому новый график тоже состоит из двух ветвей.

В выражении k/(x − p) знаменатель становится нулём при x = p, поэтому прямая x = p является вертикальной асимптотой. При больших по модулю значениях x дробь k/(x − p) приближается к нулю, значит, y приближается к q; горизонтальная асимптота имеет уравнение y = q. Эти прямые пересекаются в точке (p; q), называемой центром гиперболы.

Знак k определяет, по какие стороны от центра направлены ветви. Если k > 0, выражения x − p и y − q имеют одинаковые знаки: ветви находятся справа сверху и слева снизу от центра. Если k < 0, знаки различны, поэтому ветви расположены слева сверху и справа снизу.

Свойства функции y = k/(x − p) + q при k ≠ 0

Таблица позволяет быстро проверить основные свойства уже преобразованной функции. Сначала найдите параметры p, q и k, затем определите область определения и асимптоты. Знак k подскажет, в каких углах относительно центра нужно искать ветви.

Разбор задач

1. Найдите область определения функции y = (2x + 1)/(x − 3).

Нужно выяснить, при каком значении x знаменатель становится нулём. Именно это значение нельзя использовать в функции, тогда как остальные значения допустимы.

1. Приравняем знаменатель к нулю: x − 3 = 0.
2. Получаем x = 3.
3. Исключаем это число из множества всех действительных чисел: x ≠ 3.

Ответ: область определения — все действительные числа, кроме 3.

2. Представьте функцию y = (3x + 2)/(x − 1) в виде k/(x − p) + q и укажите асимптоты.

Выделим в дроби целую часть, сравнивая числитель с удобным выражением 3(x − 1). Такой выбор связан с тем, что коэффициент при x в числителе равен 3.

1. Представим числитель: 3x + 2 = 3(x − 1) + 5.
2. Разделим на x − 1: y = 3 + 5/(x − 1) = 5/(x − 1) + 3.
3. Сравним с нужным видом: k = 5, p = 1, q = 3.
4. Запишем асимптоты: x = 1 и y = 3.

Ответ: y = 5/(x − 1) + 3; вертикальная асимптота x = 1, горизонтальная асимптота y = 3.

3. Постройте график функции y = (2x − 1)/(x + 2).

Сначала преобразуем формулу, чтобы увидеть гиперболу и её сдвиги. Затем отметим асимптоты и возьмём точки, расположенные по обе стороны от запрещённого значения.

1. Представим числитель: 2x − 1 = 2(x + 2) − 5.
2. Получим y = 2 − 5/(x + 2) = −5/(x − (−2)) + 2.
3. Проводим асимптоты x = −2 и y = 2. Так как k = −5 < 0, ветви находятся во второй и четвёртой четвертях относительно центра (−2; 2).
4. Вычислим несколько точек: при x = −3 получаем y = 7, при x = −1 получаем y = −3, при x = 0 получаем y = ½.

Ответ: строим гиперболу y = −5/(x + 2) + 2 через найденные точки, не пересекающую асимптоты x = −2 и y = 2.

Типичные ошибки

Значение, обращающее знаменатель в нуль, иногда включают в область определения. Так происходит, если смотрят только на числитель или забывают проверить знаменатель. Для проверки подставьте найденное значение в знаменатель: результат 0 означает, что число нужно исключить.

При выделении целой части неверно находят остаток в числителе. Ошибка появляется, когда забывают раскрыть скобки, например 3(x − 1) даёт 3x − 3, а не 3x + 3. Проверьте преобразование, приведя полученную сумму дробей к общему знаменателю.

Вертикальную асимптоту x = p путают с горизонтальной y = q. Первая задаёт запрещённое значение аргумента и записывается через x, а вторая показывает, к какому значению приближается функция, и записывается через y. Сверяйте букву с направлением прямой: x = число — вертикальная, y = число — горизонтальная.

Ветви строят только по знаку k, не учитывая сдвиги p и q. Знак действительно задаёт взаимное расположение ветвей, но отсчитывать четверти нужно от центра (p; q), а не от начала координат. Сначала нанесите обе асимптоты, затем определите положение ветвей.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь находить нули линейного выражения и область определения дроби. Именно эти навыки позволяют быстро обнаружить запрещённое значение аргумента. Без них легко допустить ошибку уже на первом шаге.

Дробно-линейная функция опирается на преобразование алгебраических формул и сдвиги графиков. Выделение целой части связывает дробь с более знакомым выражением y = k/x. Понимание сдвигов помогает строить график по его асимптотам.

Представление графика через асимптоты пригодится при изучении рациональных функций. Позже похожие идеи помогут исследовать более сложные дроби. Область определения и поведение функции около запрещённых значений останутся важными инструментами.

Что запомнить

• Дробно-линейная функция имеет вид y = (ax + b)/(cx + d), причём знаменатель зависит от x.
• Нули знаменателя исключают из области определения.
• При ad − bc ≠ 0 функцию можно представить как y = k/(x − p) + q.
• График функции y = k/(x − p) + q — гипербола.
• Её асимптоты имеют уравнения x = p и y = q.
• При k > 0 ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно центра гиперболы.
• При k < 0 ветви расположены во второй и четвёртой четвертях относительно центра.