"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Дробно-линейная функция задаётся отношением двух линейных выражений: y = (ax + b)/(cx + d). При определённых условиях её график — гипербола с двумя ветвями и двумя асимптотами, то есть прямыми, к которым ветви неограниченно приближаются. Преобразование формулы к виду y = k/(x − m) + n помогает быстро найти свойства функции, построить график и решить уравнения, связанные с ним.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дробно-линейная функция — функция вида y = (ax + b)/(cx + d), где a, b, c, d — постоянные числа, c ≠ 0 и ad − bc ≠ 0. Условие c ≠ 0 означает, что в знаменателе есть переменная x, а условие ad − bc ≠ 0 не позволяет числителю и знаменателю оказаться пропорциональными. Если последнее условие не выполнено, дробь может сократиться до постоянного значения и график уже не будет гиперболой.
Область определения — множество всех значений x, для которых формула имеет смысл. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому cx + d ≠ 0 и x ≠ −d/c. Это ограничение нужно учитывать и при построении графика, и при решении уравнений: допустимое значение нельзя вернуть в ответ даже после преобразований.
Гипербола — график дробно-линейной функции при ad − bc ≠ 0. Она состоит из двух отдельных ветвей, расположенных по разные стороны от асимптот. Такой график наглядно показывает, как меняются значения функции при приближении x к запрещённому значению и при удалении x от него.
Асимптоты дробно-линейной функции — прямые x = −d/c и y = a/c, к которым приближаются ветви графика. Первая называется вертикальной, вторая — горизонтальной; их пересечение является центром гиперболы. Асимптоты помогают быстро наметить график и определить, какие значения x и y функция не принимает.
Чтобы увидеть связь дробно-линейной функции с обратной пропорциональностью, разделим числитель на знаменатель. Получим (ax + b)/(cx + d) = a/c + (bc − ad)/(c(cx + d)). После преобразования формула принимает вид y = k/(x − m) + n, где m = −d/c, n = a/c, k = (bc − ad)/c². Поскольку ad − bc ≠ 0, коэффициент k не равен нулю, поэтому основой графика остаётся гипербола y = k/x, а числа m и n задают перенос.
Значение x = −d/c исключается, потому что при нём исходный знаменатель обращается в ноль. В преобразованной записи это же значение делает нулём выражение x − m, поэтому дробь k/(x − m) не определена. Когда x приближается к m, знаменатель дроби становится очень маленьким по модулю, а её значение резко возрастает или убывает; поэтому прямая x = m является вертикальной асимптотой.
В преобразованной формуле горизонтальная асимптота видна сразу: y = k/(x − m) + n. При больших по модулю x дробь k/(x − m) становится всё меньше по модулю и стремится к нулю, поэтому значение функции приближается к n. Следовательно, горизонтальная асимптота имеет уравнение y = n = a/c. При этом приближение не означает равенства: ненулевая дробь k/(x − m) не может стать нулём.
Для построения сначала найдите m, n и k, затем проведите асимптоты x = m и y = n: их пересечение — центр гиперболы. Перенесите график y = k/x на m единиц по горизонтали и n единиц по вертикали; если m или n отрицательны, направление переноса меняется на противоположное. При k > 0 ветви лежат в первой и третьей четвертях относительно центра, а при k < 0 — во второй и четвёртой, поскольку знак дроби k/(x − m) зависит от знаков k и x − m.
Из записи y = k/(x − m) + n видно, что значение y = n невозможно: для этого дробь должна была бы равняться нулю, хотя k ≠ 0. Поэтому область значений состоит из всех y, кроме n. Уравнение f(x) = q можно решить алгебраически или найти пересечение графика с горизонтальной прямой y = q; перед ответом нужно исключить x = m. Если прямая совпадает с горизонтальной асимптотой, пересечений нет.
| Свойство | Результат | Как определить |
|---|---|---|
| Условия дробно-линейной функции | c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 | Проверить коэффициенты; первое условие исключает постоянный знаменатель, второе — вырождение в постоянную функцию. |
| Область определения | x ∈ ℝ, x ≠ −d/c | Приравнять знаменатель cx + d к нулю и исключить корень. |
| Область значений | y ∈ ℝ, y ≠ a/c | Выделить форму y = k/(x − m) + n: значение n недостижимо. |
| Вертикальная асимптота | x = −d/c | Найти запрещённое значение x из знаменателя. |
| Горизонтальная асимптота | y = a/c | Разделить коэффициенты при x или выделить постоянную часть. |
| Центр гиперболы | (−d/c; a/c) | Найти пересечение вертикальной и горизонтальной асимптот. |
| Расположение ветвей | При k > 0 — I и III четверти относительно центра; при k < 0 — II и IV | Вычислить k = (bc − ad)/c² в записи y = k/(x − m) + n. |
Сначала по коэффициентам найдите запрещённое значение и асимптоты, а затем используйте их пересечение как центр графика. Для расположения ветвей понадобится знак k из преобразованной формулы. Таблица помогает проверить построение и не смешать область определения с областью значений.
Задача. Для функции y = (2x + 1)/(x − 3) определить область определения и асимптоты. Сначала проверяем знаменатель: именно он задаёт запрет на значения x. Для горизонтальной асимптоты сравниваем коэффициенты при x в числителе и знаменателе.
Ответ. Область определения: x ∈ ℝ, x ≠ 3; асимптоты: x = 3 и y = 2. Числитель обращается в ноль при другом значении x, но это не ограничивает область определения. Проверка по записи y = 2 + 7/(x − 3) подтверждает обе асимптоты.
Задача. Представить y = (3x − 5)/(x + 2) в виде y = k/(x − m) + n и построить график. Чтобы выделить постоянную часть, выразим числитель через знаменатель: 3x − 5 = 3(x + 2) − 11. После деления получаем y = 3 − 11/(x + 2).
Ответ. y = −11/(x − (−2)) + 3; область определения: x ≠ −2. График получают переносом гиперболы y = −11/x на 2 единицы влево и на 3 вверх. Сначала удобно нанести асимптоты, а затем расположить ветви с учётом отрицательного знака k.
Задача. Найти все x, для которых (2x + 1)/(x − 3) = 3, и проверить ответ по графику. Значение x = 3 сразу исключаем, так как при нём исходная дробь не определена. Далее умножаем уравнение на знаменатель, но сохраняем в уме это ограничение.
Ответ. x = 10. Графическая проверка согласуется с вычислением: прямая y = 3 пересекает график функции в точке с абсциссой 10. Важно не принимать вертикальную асимптоту x = 3 за решение, поскольку там функция не существует.
Ошибка: исключать значение, при котором числитель обращается в ноль. Так делают, смешивая условие существования дроби с поиском её нулей, хотя ограничение задаёт только знаменатель. Чтобы проверить себя, решите cx + d = 0: только полученный корень запрещён. Нуль числителя, если знаменатель при нём не равен нулю, входит в область определения.
Ошибка: путать вертикальную асимптоту x = −d/c с горизонтальной y = a/c. Обе находят по коэффициентам, и из-за этого легко поставить не ту букву слева от равенства. Проверка простая: вертикальная асимптота задаёт запрещённый x, а горизонтальная — значение y, к которому функция приближается при больших |x|.
Ошибка: включать значение горизонтальной асимптоты в область значений. Оно кажется возможным, потому что график подходит к прямой, но приближение не означает, что ветвь её достигает. Подставьте y = n в форму y = k/(x − m) + n: пришлось бы приравнять ненулевую дробь к нулю. Значит, это значение нужно исключить.
Ошибка: строить ветви как у y = 1/x при любом знаке коэффициента. Такая привычка игнорирует множитель k: при отрицательном k знаки значений меняются и ветви оказываются в других четвертях относительно центра. Перед построением вычислите знак k и нанесите центр по асимптотам. Для k > 0 ветви направлены в первую и третью четверти, для k < 0 — во вторую и четвёртую.
Для изучения дробно-линейной функции полезно уметь преобразовывать алгебраические дроби, находить их область определения и строить график y = 1/x. Именно эти навыки помогают перейти к виду y = k/(x − m) + n и перенести базовую гиперболу. Если преобразования пока вызывают затруднения, проверяйте каждое равенство умножением на общий знаменатель.
Дробно-линейная функция — один из примеров рациональной функции, поэтому её свойства помогают исследовать более сложные выражения. Преобразование формулы, ограничения на знаменатель и чтение пересечений графиков используются при решении дробно-рациональных уравнений и неравенств. Понимание асимптот также помогает описывать поведение функций, когда аргумент приближается к особому значению или становится очень большим.
Почему в формуле дробно-линейной функции требуется условие ad − bc ≠ 0?
Если ad − bc = 0, числитель и знаменатель пропорциональны, поэтому дробь после сокращения становится постоянной (кроме точки, где исходный знаменатель равен нулю). Условие ad − bc ≠ 0 гарантирует, что функция не постоянна и её график является гиперболой.
Как быстро найти вертикальную и горизонтальную асимптоты?
Вертикальную асимптоту находят из уравнения cx + d = 0: это прямая x = −d/c. Горизонтальная асимптота задаётся отношением коэффициентов при x в числителе и знаменателе: y = a/c.
Почему функция не принимает значение горизонтальной асимптоты?
После преобразования формулы получается y = k/(x − m) + n, где k ≠ 0. Чтобы y было равно n, дробь k/(x − m) должна быть нулём, но при любом допустимом x она не равна нулю.
Как определить, в каких четвертях относительно центра расположены ветви гиперболы?
Сначала представьте функцию в виде y = k/(x − m) + n и считайте четверти от центра (m; n), а не от начала координат. При k > 0 ветви лежат в первой и третьей четвертях относительно центра, при k < 0 — во второй и четвёртой.
Чем построение дробно-линейной функции отличается от построения графика y = 1/x?
Формулу приводят к виду y = k/(x − m) + n. Это график y = k/x, перенесённый на m единиц по горизонтали и на n по вертикали; множитель k также определяет направление ветвей и их удалённость от центра.
§ 3. Дробно-линейная функция
