"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Равносильные уравнения и неравенства имеют одинаковые множества решений, даже если записаны по-разному. Это позволяет упрощать выражения и последовательно приходить к ответу. Прибавление одинакового выражения сохраняет равносильность, а знак неравенства при умножении на отрицательное число меняется. Преобразования с переменными в знаменателе, под корнем или в квадрате требуют учёта ОДЗ и проверки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равносильные уравнения — это уравнения с одинаковыми множествами корней. Например, 2x = 6 и x = 3 равносильны, потому что оба имеют единственный корень 3. Понятие нужно, чтобы заменять сложное уравнение более простым без потери правильного ответа.
Равносильные неравенства задают одно и то же множество решений. Записи x + 2 > 5 и x > 3 различаются внешне, но описывают один и тот же набор чисел. Это позволяет преобразовывать неравенство, сохраняя все подходящие значения переменной.
Равносильные преобразования — действия, которые не изменяют множество решений уравнения или неравенства. К ним относятся, например, прибавление одного и того же выражения к обеим частям и деление уравнения на ненулевое число. Их используют как безопасные шаги решения.
Посторонний корень — значение, появившееся после преобразования, но не являющееся решением исходного уравнения. Такое бывает, например, после возведения обеих частей в квадрат. Поэтому результат преобразований иногда нужно проверять подстановкой в первоначальное условие.
Равносильность определяется не сходством записей, а совпадением множеств решений. Уравнения 3x = 6 и x + 4 = 6 выглядят по-разному, но оба дают x = 2, поэтому они равносильны. И наоборот, почти одинаковые записи могут иметь разные корни, если при преобразовании изменились ограничения или были добавлены новые значения.
При переносе слагаемого меняют знак потому, что фактически прибавляют противоположное выражение к обеим частям. Из x + 7 = 10 получают x = 10 − 7, прибавив −7 слева и справа. То же правило работает для любого выражения: можно прибавить или вычесть его с обеих сторон, и равенство сохранится.
У неравенства умножение на отрицательное число меняет порядок чисел. Например, из 2 < 5 после умножения на −3 выходит −6 > −15, а не −6 < −15. Поэтому при умножении или делении на отрицательное число знак переворачивают, тогда как при положительном множителе направление сохраняется.
Деление на выражение с переменной требует осторожности, потому что оно может обратиться в ноль. Нельзя делить на x, не рассмотрев значение x = 0, а в дробном выражении знаменатель сразу исключают из ОДЗ. При работе с неравенством дополнительно нужно знать знак делителя: от него зависит, сохранится знак или изменится.
Возведение в квадрат может добавить решения, поскольку равенство квадратов не различает противоположные знаки: (−3)² = 3². Извлечение квадратного корня, наоборот, связано с условием неотрицательности подкоренного выражения и не всегда является обратным действием без дополнительных условий. Поэтому после таких шагов, а также после избавления от знаменателей, найденные значения проверяют в исходной записи.
Таблица показывает, какие действия обычно можно выполнять без изменения множества решений и какие условия при этом обязательны. Если действие зависит от переменной, сначала определяют ОДЗ и знак выражения; при сомнении безопаснее проверить полученные значения в исходном условии.
| Преобразование | Для уравнений | Для неравенств | Условие применения |
|---|---|---|---|
| Прибавление или вычитание одного и того же выражения из обеих частей | Равносильно | Равносильно | Выражение должно быть определено |
| Умножение или деление обеих частей на ненулевое число | Равносильно | При положительном числе равносильно | Число не равно нулю |
| Умножение или деление на положительное число | Равносильно | Равносильно, знак сохраняется | Число положительно |
| Умножение или деление на отрицательное число | Равносильно | Равносильно, знак меняется | Число отрицательно и не равно нулю |
| Умножение или деление на выражение с переменной | Только с учётом ненулевых значений | Нужно учитывать знак выражения | Определить ОДЗ и разбить случаи по знаку |
| Возведение обеих частей в квадрат или извлечение корня | Не всегда равносильно | Не всегда равносильно | Учесть знаки, ОДЗ и выполнить проверку |
Условие: решить уравнение 3x − 7 = 11. Здесь достаточно освободить переменную от известного слагаемого, а затем от коэффициента, не выполняя неравносильных действий.
Ответ: x = 6.
Условие: решить уравнение (x + 1)/(x − 2) = 2. Нельзя сразу умножать на x − 2 для всех x, потому что при x = 2 дробь не определена.
Ответ: x = 5.
Условие: решить неравенство (x − 1)/(x + 2) ≥ 0. Нужно учитывать ноль числителя, запрещённый ноль знаменателя и знак дроби на каждом промежутке.
Ответ: x ∈ (−∞; −2) ∪ [1; +∞).
Деление на выражение, которое может быть равно нулю, приводит к потере отдельного случая или к появлению недопустимого ответа. Такую ошибку допускают, когда забывают выписать ОДЗ; проверка — найти нули делителя до сокращения или умножения.
При умножении неравенства на отрицательное число нельзя оставлять прежний знак. Причина ошибки — механическое повторение правила для положительного множителя; проверить себя можно на простом примере 1 < 2 после умножения на −1.
Преобразованное уравнение не всегда равносильно исходному. Возведение в квадрат или удаление ограничений может добавить корни, поэтому нужно сравнить область допустимых значений и подставить ответ в исходную запись.
Непроверенный корень часто принимают за окончательный ответ после действий с дробями или корнями. Ошибку предупреждает финальная подстановка: значение должно одновременно удовлетворять исходному равенству или неравенству и всем ограничениям ОДЗ.
До изучения темы нужны понятия корня уравнения, решения неравенства, области допустимых значений и свойства числовых неравенств. Равносильные преобразования образуют основу решения рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств. Те же правила применяются в системах, совокупностях и задачах с параметрами, где особенно важно не потерять условия.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется его знак?
При переносе на самом деле к обеим частям уравнения прибавляют противоположное выражение. Например, из x + 5 = 9 получают x = 9 − 5, потому что к обеим частям прибавили −5.
Всегда ли уравнение, полученное после возведения в квадрат, равносильно исходному?
Нет. Возведение в квадрат может сделать верным равенство, которое до этого было неверным из-за разных знаков, поэтому появляются посторонние корни. Найденные значения нужно подставить в исходное уравнение.
Почему при умножении неравенства на отрицательное число знак меняется?
Умножение на отрицательное число меняет порядок чисел на противоположный: из 2 < 5 получается −6 > −10. Поэтому знак неравенства необходимо перевернуть, чтобы сохранить истинность утверждения.
Можно ли сокращать общий множитель в уравнении или неравенстве?
Можно, если множитель — ненулевое число. Если это выражение с переменной, сначала нужно исключить значения, при которых оно равно нулю, и учитывать их отдельно, иначе можно потерять решения или изменить множество решений.
Зачем проверять найденные корни, если все преобразования выполнены по правилам?
Не каждое полезное преобразование равносильно исходному: возведение в квадрат или умножение на выражение с переменной может добавить решения. Подстановка в исходное условие обнаруживает посторонние корни и нарушения ОДЗ.
§ 4. Равносильные уравнения и неравенств
