"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Иррациональным называют уравнение, в котором неизвестная находится под знаком корня. Такие уравнения решают, постепенно освобождаясь от радикалов, но каждое преобразование требует внимания: возведение в квадрат может добавить лишние значения. Поэтому сначала находят область допустимых значений, учитывают знак частей уравнения, а в конце обязательно проверяют кандидатов подстановкой в исходную запись. Эти правила помогают получить именно те корни, которые удовлетворяют исходному условию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Иррациональное уравнение — уравнение, в котором неизвестная содержится под знаком корня. Например, в уравнении √(x + 2) = 4 переменная x находится под квадратным корнем. Название подсказывает, что при решении приходится работать с корнями и учитывать, когда они определены.
Область допустимых значений, или ОДЗ, — значения неизвестной, при которых все выражения уравнения имеют смысл. Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным: в √(x − 1) требуется x − 1 ≥ 0. ОДЗ помогает сразу исключить значения, которые нельзя подставлять в уравнение.
Посторонний корень — значение, полученное в ходе преобразований, но не удовлетворяющее исходному уравнению. Он может появиться, например, после возведения обеих частей в квадрат. Проверка нужна, чтобы не включить такой кандидат в ответ.
Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество корней. Если преобразование равносильно, решать новое уравнение можно вместо исходного без потери или добавления решений. Это свойство особенно важно проверять при работе с радикалами.
Решение начинают с допустимых значений неизвестной, потому что корень существует не при любом значении переменной. Для квадратного корня проверяют, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным; например, √(x − 3) требует x ≥ 3. У корней нечётной степени таких ограничений на знак подкоренного выражения нет: кубический корень определён и для отрицательных чисел. Поэтому сначала выясняют, корень какой степени входит в уравнение.
Рассмотрим √f(x) = g(x), где f(x) и g(x) — выражения с переменной. Левая часть неотрицательна, поэтому равенство возможно только при f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0. При этих условиях обе части можно возвести в квадрат и получить f(x) = g²(x); вместе с условием g(x) ≥ 0 это даёт равносильную систему. Без проверки знака правая часть могла бы быть отрицательной, хотя квадратное уравнение этого уже не отражает.
Возведение обеих частей в квадрат сохраняет следствие: если числа равны, то равны и их квадраты. Обратное неверно без дополнительных условий, поскольку числа с противоположными знаками могут иметь один и тот же квадрат: 3² = (−3)². Поэтому из нового уравнения иногда получаются значения, которые не подходят к исходному. Чтобы получить равносильное преобразование, заранее устанавливают нужные знаки или позже проверяют все кандидаты.
Если в уравнении несколько радикалов, обычно сначала оставляют один корень отдельно, а остальные выражения переносят на другую сторону. Затем учитывают знаки и возводят обе части в квадрат; если корень остался, процедуру при необходимости повторяют. На каждом шаге сохраняют уже найденную ОДЗ и проверяют условия, возникшие из знаков частей. Такой порядок помогает не спутать новые ограничения с исходными.
После преобразований полученные значения пока считают кандидатами, а не готовыми ответами. Подстановка в исходное уравнение показывает, определены ли все корни и совпадают ли левая и правая части. Проверять только последнее уравнение после возведения в квадрат нельзя: оно могло получить дополнительные решения. В ответ включают лишь значения, прошедшие проверку в первоначальной записи.
Таблица подсказывает, какие условия записать до преобразований и чем закончить решение. Сначала определите тип уравнения и выпишите ограничения для корней и знаков частей. Затем примените подходящий приём и проверьте результат в исходном равенстве.
| Вид уравнения | Что учесть до преобразований | Основной приём | Как проверить результат |
|---|---|---|---|
| √f(x) = g(x) | f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0 | Возвести обе части в квадрат | Подставить корни в исходное уравнение |
| √f(x) = √g(x) | f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0 | Приравнять подкоренные выражения | Проверить допустимость найденных значений |
| Уравнение с несколькими радикалами | Найти ограничения для каждого подкоренного выражения | Изолировать радикал и возводить в квадрат последовательно | Проверить каждый кандидат в исходном уравнении |
Слева стоит квадратный корень, поэтому правая часть x должна быть неотрицательной. Учтём это до возведения в квадрат, а затем проверим найденное значение в исходной записи.
Из условия под корнем получаем 2x + 3 ≥ 0, то есть x ≥ −3/2. Кроме того, равенство требует x ≥ 0; вместе условия дают x ≥ 0.
Возводим обе части в квадрат: 2x + 3 = x². Переносим слагаемые: x² − 2x − 3 = 0, откуда (x − 3)(x + 1) = 0.
Получены кандидаты x = 3 и x = −1. Условию x ≥ 0 удовлетворяет только 3, а подстановка даёт √9 = 3.
Ответ: x = 3.
Правая часть обязана быть неотрицательной, поэтому x − 1 ≥ 0. Это условие сильнее требования к подкоренному выражению: при x ≥ 1 автоматически выполнено x + 1 ≥ 0. После решения квадратного уравнения оставим лишь подходящее значение.
Записываем ограничения: x + 1 ≥ 0 и x − 1 ≥ 0. Получаем ОДЗ для уравнения x ≥ 1.
Возводим обе части в квадрат: x + 1 = (x − 1)². Раскрываем скобки и переносим всё в одну сторону: x² − 3x = 0, или x(x − 3) = 0.
Кандидаты — 0 и 3. Значение 0 не входит в ОДЗ; при x = 3 исходное равенство превращается в √4 = 2 и верно.
Ответ: x = 3.
Здесь нужно учитывать сразу два подкоренных выражения, а затем последовательно убирать радикалы. По ОДЗ x ≥ 2; поэтому первое слагаемое определено и положительно. После первого возведения в квадрат изолируем оставшийся корень, а после второго обязательно сверяем кандидаты с исходным уравнением.
ОДЗ задаётся условиями x + 1 ≥ 0 и x − 2 ≥ 0, значит x ≥ 2. Переносим один корень: √(x + 1) = 3 − √(x − 2).
Возводим в квадрат: x + 1 = 9 − 6√(x − 2) + x − 2. После сокращения получаем 6√(x − 2) = 6, то есть √(x − 2) = 1.
Ещё раз возводим обе части в квадрат: x − 2 = 1, откуда x = 3. Подстановка в исходное уравнение даёт √4 + √1 = 2 + 1 = 3.
Ответ: x = 3.
Возводят в квадрат, не проверив знак правой части. Тогда преобразованное уравнение может допустить отрицательное значение справа, невозможное для квадратного корня. Ошибка возникает, когда возведение в квадрат считают автоматически равносильным действием. Перед преобразованием проверьте, что обе части неотрицательны, или сохраните нужное условие вместе с новым уравнением.
Не записывают условия для подкоренных выражений. Из-за этого в вычислениях могут остаться значения, при которых квадратный корень не определён. Часто ограничения пропускают, когда уравнение сразу начинают преобразовывать. Составьте неравенство для каждого квадратного корня и проверьте найденные кандидаты на ОДЗ.
Принимают все корни уравнения после возведения в квадрат. Квадрат может скрыть различие знаков и добавить посторонние решения, поэтому корень промежуточного уравнения ещё не обязательно подходит. Проверка только этого промежуточного уравнения не выявит ошибку. Подставьте каждый кандидат в исходную запись и исключите значения, которые нарушают равенство.
Ошибаются при повторном возведении в квадрат. Например, в квадрате суммы нужно сохранить оба удвоенных произведения: (a + b)² = a² + 2ab + b². Слагаемые теряются, когда раскрывают скобки слишком быстро или неверно работают с радикалами. Перед продолжением отдельно проверьте раскрытие скобок, а в конце выполните подстановку.
Для решения нужны навыки нахождения области определения выражений с квадратными корнями, а также умение решать линейные и квадратные уравнения и неравенства. Понятие равносильности помогает понять, какие преобразования сохраняют множество корней, а какие требуют дополнительной проверки. Приёмы работы с радикалами пригодятся в более сложных уравнениях и при изучении функций, содержащих корни. Так знания об уравнениях, неравенствах и области определения соединяются в одном алгоритме.
Почему после возведения уравнения в квадрат могут появиться лишние корни?
При возведении в квадрат равные квадраты не обязательно означают равенство исходных выражений: например, 2² = (−2)², хотя 2 ≠ −2. Поэтому преобразованное уравнение может иметь решения, при которых исходные части отличаются знаком. Такие значения проверяют подстановкой и исключают, если равенство не выполняется.
Нужно ли проверять корни, если область допустимых значений уже найдена?
Да. Область допустимых значений исключает только значения, при которых выражения не имеют смысла, но не гарантирует выполнения исходного уравнения. После возведения в квадрат могут появиться посторонние корни, поэтому все кандидаты проверяют подстановкой.
Какие условия нужно записать перед решением уравнения с квадратным корнем?
Для каждого квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Если уравнение имеет вид √f(x) = g(x), то дополнительно требуется g(x) ≥ 0, поскольку значение квадратного корня не бывает отрицательным. Эти условия помогают сохранить равносильность преобразований.
Можно ли сразу возвести в квадрат обе части уравнения с двумя радикалами?
Обычно безопаснее сначала изолировать один радикал, то есть оставить его одного с одной стороны равенства. Затем возвести уравнение в квадрат и повторить этот приём, если корень ещё остался. До каждого возведения в квадрат учитывают ограничения, а в конце проверяют ответ.
Как понять, что уравнение после преобразования равносильно исходному?
Равносильность означает, что оба уравнения имеют одно и то же множество корней. Возведение в квадрат не всегда сохраняет это свойство без дополнительных условий на знаки частей. Если условия, обеспечивающие равносильность, не доказаны, найденные значения нужно проверить в исходном уравнении.
§ 5. Иррациональные уравнения
