"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Иррациональным называют неравенство, в котором переменная находится под знаком корня. Чтобы решить его, сначала находят область допустимых значений, затем проверяют знаки частей и только после этого, если это равносильно, возводят обе части в квадрат. Такой порядок помогает не потерять подходящие значения и не включить в ответ лишние. Те же правила работают, когда корни стоят по обе стороны неравенства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Иррациональное неравенство — это неравенство, в котором переменная входит в выражение под знаком корня. Например, √(x + 2) < 3 — иррациональное, а x² − 4 > 0 — рациональное: в последнем переменная не стоит под корнем. Это различие важно, потому что для корня нужно учитывать ограничения на подкоренное выражение.
Область допустимых значений, или ОДЗ, — все значения переменной, при которых выражения в исходном неравенстве определены. Для квадратного корня требуется, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: например, для √(x − 1) нужно x ≥ 1. ОДЗ отсекает невозможные значения и обязательно учитывается при составлении ответа.
Равносильными называют неравенства, множества решений которых совпадают. При решении важно переходить только к равносильным условиям или отдельно сохранять ограничения, необходимые для перехода. Иначе можно потерять правильные решения либо добавить посторонние.
Метод возведения в квадрат — способ преобразования неравенства с корнями, при котором обе части возводят в квадрат после проверки их знаков. Для неотрицательных частей это сохраняет их порядок. Если условие о знаках не выполнено, преобразование может изменить множество решений.
Сначала находят ОДЗ, потому что исходное неравенство существует только там, где все корни определены. Например, если под корнем стоит f(x), нужно включить условие f(x) ≥ 0. В дальнейшем каждое найденное решение пересекают с этими ограничениями: так в ответ не попадут значения, для которых исходное выражение не имеет смысла.
Перед возведением в квадрат сравнивают знаки обеих частей. На неотрицательных числах квадрат сохраняет порядок: из a < b следует a² < b², если a ≥ 0 и b ≥ 0. Но отрицательные числа ведут себя иначе: например, −3 < 2, тогда как 9 > 4. Поэтому возведение в квадрат без проверки знаков может превратить исходное условие в неравносильное.
В неравенстве √f(x) < g(x) левая часть неотрицательна, значит, правая должна быть строго положительной. После этого обе части можно возвести в квадрат, сохранив условие f(x) < g²(x). Вместе с ОДЗ получаем систему f(x) ≥ 0, g(x) > 0, f(x) < g²(x); все три условия должны выполняться одновременно.
В неравенстве √f(x) > g(x) нельзя сразу сравнивать квадраты, потому что g(x) может оказаться отрицательным. Если g(x) < 0, неотрицательный корень автоматически больше правой части, когда корень определён. Если же g(x) ≥ 0, сравнение квадратов допустимо и даёт f(x) > g²(x); для нестрогого знака аналогично учитывают случай g(x) ≤ 0.
Если корни стоят по обе стороны, сначала изолируют один из них, перенося другой член. Затем проверяют знак получившейся правой части и возводят в квадрат только при подходящих условиях. После первого возведения могут появиться новые корни, поэтому перед следующим квадратом снова проверяют знаки; так каждый переход остаётся контролируемым.
В таблице собраны равносильные условия, которые используют после того, как выражения обозначены через f(x) и g(x). Условия в одной строке выполняются одновременно, а слова «или» разделяют отдельные случаи. Сначала реши систему или каждый случай, затем объедини результаты и учти ОДЗ.
| Неравенство | Равносильные условия |
|---|---|
| √f(x) < g(x) | f(x) ≥ 0, g(x) > 0, f(x) < g²(x) |
| √f(x) ≤ g(x) | f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0, f(x) ≤ g²(x) |
| √f(x) > g(x) | f(x) ≥ 0 и [g(x) < 0 или (g(x) ≥ 0 и f(x) > g²(x))] |
| √f(x) ≥ g(x) | f(x) ≥ 0 и [g(x) ≤ 0 или (g(x) > 0 и f(x) ≥ g²(x))] |
Ответ: x ∈ [−2; 7).
Ответ: x ∈ [1; 5].
Ответ: x ∈ (29 − 6√21; +∞).
Возводить обе части в квадрат без проверки знаков — значит считать, что квадрат всегда сохраняет порядок. Так бывает только при неотрицательных частях, поэтому сначала установи их знаки. Например, −3 < 2, но квадраты этих чисел сравниваются наоборот.
Забывать ограничения подкоренных выражений опасно: полученные после преобразований значения могут не входить в ОДЗ. Обычно ошибку допускают, сосредоточившись на квадратном неравенстве и потеряв исходные корни. Проверяй каждое найденное значение по условиям f(x) ≥ 0 для всех подкоренных выражений.
Из √f(x) > g(x) не всегда следует f(x) > g²(x): если g(x) < 0, корень может быть больше g(x) без такого сравнения квадратов. Не пропускай разбор знака правой части. Проверка простого случая с отрицательным g сразу показывает, почему нужны отдельные случаи.
После возведения в квадрат нельзя забывать условия, при которых оно было разрешено. Иначе в ответ попадут значения, подходящие преобразованному, но не исходному неравенству. Для самопроверки подставь границы промежутков в исходное выражение и проверь все ограничения знаков и ОДЗ.
Для решения нужны свойства квадратного корня: в частности, √f(x) определён при f(x) ≥ 0 и сам неотрицателен. Также пригодятся квадратные и рациональные неравенства, ведь после возведения в квадрат часто получается именно такое условие. Системы неравенств помогают объединять ОДЗ со всеми ограничениями, возникшими при преобразовании.
Эти приёмы пригодятся и в смешанных неравенствах, где вместе встречаются корни, дроби и многочлены. Похожая проверка подкоренных выражений нужна при поиске области определения функций с корнями. Умение учитывать знаки позволяет точно определить, на каких промежутках функция или выражение имеет смысл.
Почему нельзя сразу возвести обе части неравенства в квадрат?
Возведение в квадрат сохраняет порядок величин, когда обе части неотрицательны. Если одна из них отрицательна, сравнение квадратов может дать другой результат и привести к лишним решениям.
Нужно ли включать область допустимых значений в ответ?
Да. Исходное выражение определено только при допустимых значениях переменной, поэтому ответ пересекают с областью допустимых значений. Иначе в него могут попасть значения, при которых исходное неравенство не имеет смысла.
Как решать неравенство, если правая часть может быть отрицательной?
Раздели решение на случаи по знаку правой части. Если она отрицательна, неравенство с неотрицательным корнем может выполняться автоматически; если положительна, можно сравнивать квадраты после проверки области допустимых значений.
Что делать, если после возведения в квадрат появились лишние решения?
Проверь найденные значения в условиях, которые были нужны для возведения в квадрат, и в исходном неравенстве. Значения, не удовлетворяющие этим условиям, исключи.
Как поступить, если корни стоят по обе стороны неравенства?
Сначала найди область допустимых значений и изолируй один из корней. Затем проверь знаки обеих частей и возводи в квадрат поэтапно, каждый раз сохраняя необходимые условия.
§ 6. Иррациональные неравенства
