§ 1. Показательная функция, ее свойства и график

Определения и обозначения

Показательная функция — функция вида y = aˣ, где основание a — положительное число, не равное 1. Переменная x находится в показателе степени, а не в основании. Такое определение позволяет изучать единый класс функций с общими свойствами.

Основание показательной функции — число a, от которого зависит характер изменения функции. При a > 1 увеличение x приводит к увеличению значения aˣ, а при 0 < a < 1 — к его уменьшению. Поэтому по основанию сразу можно определить, будет график идти вверх или вниз слева направо.

График показательной функции — множество точек (x; aˣ), координаты которых связаны формулой y = aˣ. Он проходит через точку (0; 1) и не пересекает ось Ox. Эти признаки помогают распознать показательный график и проверить правильность построения.

Как это устроено

Условие a > 0 нужно потому, что степень положительного числа определена для любого действительного показателя x. Если основание отрицательное, выражение с произвольным действительным показателем может не иметь значения. Основание a = 1 исключают отдельно: при нём 1ˣ = 1, и функция становится постоянной.

Равенство a⁰ = 1 справедливо для любого допустимого основания. Поэтому при x = 0 значение функции равно 1, независимо от выбора a. Именно это объясняет общую для всех показательных графиков точку (0; 1).

Если a > 1, то при увеличении показателя каждый следующий множитель делает степень больше: например, 3ˣ растёт при переходе от x к x + 1. Если 0 < a < 1, умножение на дробь меньше единицы уменьшает результат. Поэтому в первом случае функция возрастает, а во втором убывает.

Степень положительного основания всегда больше нуля, значит, отрицательные и нулевое значения y невозможны. При больших по модулю отрицательных x значение степени приближается к нулю, но не становится нулём. Поэтому ось Ox является горизонтальной асимптотой — прямой, к которой график приближается.

Для оснований a и 1/a выполняется равенство (1/a)ˣ = a⁻ˣ. Замена x на −x отражает каждую точку графика относительно оси Oy: точка (x; aˣ) переходит в (−x; aˣ). Поэтому графики y = aˣ и y = (1/a)ˣ симметричны относительно оси Oy.

Свойства показательной функции y = aˣ

Сначала определите, к какому случаю относится основание: a > 1 или 0 < a < 1. Затем по строкам таблицы можно быстро восстановить остальные характеристики и использовать их при построении графика или решении задачи.

Значение в точке x = 0 и отсутствие пересечения с осью Ox одинаковы для обоих случаев. Меняется только направление монотонности и поведение функции при движении слева направо.

Разбор задач

Задача 1

Условие: для функции y = 3ˣ укажите область определения, множество значений, направление монотонности и точку пересечения с осью Oy.

1. Основание равно 3. Оно положительно и больше единицы, поэтому функция является показательной и возрастает.
2. Показатель x может быть любым действительным числом, значит, область определения: ℝ.
3. Значения 3ˣ положительны, поэтому множество значений: (0; +∞).
4. При x = 0 получаем y = 3⁰ = 1. Следовательно, с осью Oy график пересекается в точке (0; 1).

Ответ: область определения — ℝ; множество значений — (0; +∞); функция возрастает; точка пересечения с осью Oy — (0; 1).

Задача 2

Условие: сравните значения (½)⁻³ и (½)⁻², не вычисляя десятичные приближения.

1. Основание ½ находится между 0 и 1, поэтому функция y = (½)ˣ убывает.
2. Сравним показатели: −3 меньше −2. У убывающей функции меньшему аргументу соответствует большее значение.
3. Значит, значение при показателе −3 больше значения при показателе −2. Это также согласуется с правилом отрицательной степени: (½)⁻³ = 2³, а (½)⁻² = 2².

Ответ: (½)⁻³ > (½)⁻².

Задача 3

Условие: постройте график y = 2ˣ по таблице значений и опишите его связь с графиком y = (½)ˣ.

1. Возьмём x = −2, −1, 0, 1, 2. Получим соответственно y = ¼, ½, 1, 2, 4.
2. Отметим точки (−2; ¼), (−1; ½), (0; 1), (1; 2), (2; 4) и соединим их плавной возрастающей кривой.
3. Так как 2 > 1, график возрастает и приближается к оси Ox при движении влево.
4. Для второго графика используем (½)ˣ = 2⁻ˣ. Поэтому он является отражением графика y = 2ˣ относительно оси Oy.

Ответ: график y = 2ˣ проходит через (0; 1), возрастает; график y = (½)ˣ симметричен ему относительно оси Oy.

Типичные ошибки

Основание a = 1. Ошибка возникает, когда забывают условие a ≠ 1. При a = 1 получается y = 1, то есть постоянная функция; проверьте основание до применения свойств.

Функция при 0 < a < 1 считается возрастающей. Дробное основание меньше единицы, поэтому увеличение показателя уменьшает степень. Для проверки возьмите, например, соседние значения x = 0 и x = 1: 1 больше, чем a.

В область значений включают ноль или отрицательные числа. Степень положительного основания положительна при любом x. Проверьте знак выражения и запишите множество значений как (0; +∞).

График пересекает ось Ox. Это происходит из-за неверного представления о приближении к нулю. Подставьте y = 0: равенство aˣ = 0 невозможно, значит, график лишь приближается к оси.

Связь с другими темами

Для изучения показательной функции нужны свойства степени с положительным основанием и целым, рациональным и действительным показателем. Они объясняют смысл выражения aˣ, правило a⁰ = 1 и преобразования с отрицательными показателями.

Свойства показательной функции используются при решении показательных уравнений и неравенств. Они также нужны в моделях роста и убывания, например при описании изменения численности, стоимости или количества вещества.

Что запомнить

• Показательная функция имеет вид y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1.
• Область определения — все действительные числа.
• Множество значений — (0; +∞).
• График проходит через точку (0; 1) и не пересекает ось Ox.
• При a > 1 функция возрастает.
• При 0 < a < 1 функция убывает.
• Графики y = aˣ и y = (1/a)ˣ симметричны относительно оси Oy.