§ 11. Показательная функция, её свойства и график

Определения и обозначения

Показательная функция — функция вида y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1. Основание должно быть положительным, иначе степень с произвольным действительным показателем может не иметь действительного значения; единица исключена, потому что 1ˣ всегда равно 1. Эти условия задают функцию, которая определена на всей числовой прямой и действительно меняется.

Основание показательной функции — число a в выражении aˣ. Оно определяет направление изменения функции: при a > 1 функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. Поэтому, прежде чем строить график или сравнивать значения, полезно проверить основание.

Область определения показательной функции — множество всех допустимых значений аргумента x. Для y = aˣ при a > 0 это все действительные числа: показатель может быть целым, дробным или отрицательным. Значит, график не обрывается на границе x = 0.

Множество значений показательной функции — множество чисел, которые могут получиться вместо y. Для любого действительного x значение aˣ положительно, поэтому множество значений — все положительные числа. Ноль в него не входит: функция может приближаться к нулю, но никогда его не достигает.

Как это устроено

В формуле y = aˣ переменным является показатель степени, а основание остаётся одним и тем же положительным числом. При таком основании действительная степень определена для каждого x, в том числе для отрицательных и дробных показателей. Например, a⁻ˣ = 1/aˣ, поэтому отрицательный показатель не создаёт ограничения области определения. Условие a ≠ 1 исключает неизменное значение и оставляет случаи роста или убывания.

Степень с положительным основанием всегда положительна, каков бы ни был показатель: aˣ > 0. Поэтому все точки графика имеют положительную координату y, и график целиком расположен выше оси Ox. Ноль не может стать значением функции, поскольку для этого степень должна была бы обратиться в ноль, чего с положительным основанием не происходит. При этом значения могут быть сколь угодно близки к нулю.

Когда a > 1, умножение на a увеличивает положительное значение степени: для целых показателей каждый следующий шаг вправо даёт больший результат. Это свойство сохраняется и для действительных показателей, поэтому функция возрастает на всей числовой прямой. Если 0 < a < 1, умножение на основание уменьшает значение, и функция убывает. Так различают два вида графика, не вычисляя много точек.

При x = 0 любая допустимая функция принимает значение a⁰ = 1, поэтому график проходит через точку (0; 1) и пересекает ось Oy именно там. Ось Ox график не пересекает, но служит горизонтальной асимптотой — прямой, к которой график неограниченно приближается. При a > 1 это происходит, когда x стремится к −∞; при 0 < a < 1 — когда x стремится к +∞. На другом конце график неограниченно растёт.

Для оснований a и 1/a справедливо равенство (1/a)ˣ = a⁻ˣ. Поэтому значение функции y = (1/a)ˣ при x совпадает со значением y = aˣ при аргументе −x. Замена x на −x отражает каждую точку графика относительно оси Oy, так что графики симметричны. Например, графики y = 2ˣ и y = (1/2)ˣ — такая пара: один возрастает, другой убывает.

Свойства показательной функции y = aˣ

Сначала найдите столбец, соответствующий основанию, а затем используйте строку с нужным свойством. Например, так можно сразу определить, в какую сторону убывает график и на каком конце он приближается к оси Ox. Предел 0 означает приближение к нулю, а не достижение этого значения.

Разбор задач

Задача 1

Для функции y = 3ˣ укажите область определения и множество значений, а также найдите значение при x = 0. Здесь основание 3 положительно и не равно единице, значит, функция показательная и к ней применимы общие свойства. Отдельно подставим нулевой показатель.

1. Так как основание положительно, выражение 3ˣ определено при любом действительном x. Поэтому область определения — все действительные числа.
2. Степень 3ˣ положительна при любом x, следовательно, множество значений — все положительные числа.
3. Подставим x = 0: y = 3⁰ = 1. Это также показывает, что график проходит через точку (0; 1).

Ответ: область определения — ℝ; множество значений — (0; +∞); y(0) = 1. Проверка: значение в нуле должно равняться единице для любой показательной функции. Ноль в множество значений не включаем.

Задача 2

Определите, возрастает или убывает функция y = (1/4)ˣ, и сравните её значения при x = −2 и x = 1. Основание 1/4 положительно и меньше единицы, поэтому сразу можно установить монотонность. Чтобы сравнить значения, нужно учесть, какой из аргументов больше.

1. Поскольку 0 < 1/4 < 1, функция убывает на всей числовой прямой.
2. Сравним аргументы: −2 < 1. У убывающей функции большему аргументу соответствует меньшее значение, значит, y(−2) > y(1).
3. Проверим вычислением: y(−2) = (1/4)⁻² = 4² = 16, а y(1) = 1/4. Действительно, 16 > 1/4.

Ответ: функция убывает; y(−2) > y(1). Отрицательный показатель заменили обратной степенью: это следует из правила a⁻ˣ = 1/aˣ. Сравнение согласуется с направлением убывания.

Задача 3

Постройте график y = 2ˣ и по нему схематично постройте график y = (1/2)ˣ. Для первого графика выберем несколько удобных целых значений x, чтобы получить характерные точки. Затем используем симметрию, а не строим второй график заново.

1. Вычислим значения: при x = −2 получаем 1/4, при x = −1 — 1/2, при x = 0 — 1, при x = 1 — 2, при x = 2 — 4. Отметим точки (−2; 1/4), (−1; 1/2), (0; 1), (1; 2), (2; 4).
2. Так как основание 2 больше единицы, соединим точки плавной возрастающей кривой. При движении влево график приближается к оси Ox, не пересекая её.
3. Поскольку (1/2)ˣ = 2⁻ˣ, отразим график y = 2ˣ относительно оси Oy. Например, точке (2; 4) будет соответствовать точка (−2; 4), а точка (0; 1) останется на месте.

Ответ: y = 2ˣ — возрастающая кривая через перечисленные точки; y = (1/2)ˣ — её зеркальное отражение относительно Oy, убывающее и также проходящее через (0; 1). У второго графика значения приближаются к нулю при движении вправо. Оба графика остаются выше оси Ox.

Типичные ошибки

Не включайте a = 1 в определение показательной функции. Иногда его добавляют по аналогии с условием a > 0, забывая проверить отдельный случай: тогда y = 1 при каждом x и график становится горизонтальной прямой. Проверьте основание подстановкой: если при изменении показателя значение не меняется, это не показательная функция в принятом смысле.

Область определения не ограничена неотрицательными x. Такое ограничение ошибочно возникает, если помнить только о натуральных степенях, хотя при a > 0 определены и отрицательные действительные показатели. Например, a⁻¹ = 1/a. Для проверки подставьте отрицательное число: выражение имеет положительное значение, значит, отрицательные x допустимы.

Не указывайте ноль среди значений функции. График может почти касаться оси Ox, поэтому возникает впечатление, будто он достигает её, но при любом конечном x выполняется aˣ > 0. Проверьте множество значений по знаку степени, а приближение к нулю не путайте с равенством нулю.

Не путайте направление монотонности: при a > 1 функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. Ошибка часто появляется из-за того, что оба случая называют просто «степенной зависимостью», не сравнивая основание с единицей. Для самопроверки возьмите значения при x = 0 и x = 1: получится соответственно 1 и a, и их сравнение подскажет направление.

Связь с другими темами

Для работы с показательной функцией нужны свойства степени с положительным основанием: a⁰ = 1 и a⁻ˣ = 1/aˣ. Они помогают находить значение функции в нуле, считать отрицательные степени и объяснять симметрию графиков. Если правила степеней знакомы, многие свойства графика можно вывести без заучивания.

Показательная функция понадобится при решении показательных уравнений и неравенств: её монотонность помогает сравнивать значения и преобразовывать условия. Ею также описывают процессы роста и убывания, когда величина за равные промежутки времени изменяется в одинаковое число раз. Поэтому свойства функции связывают алгебраические вычисления с моделированием реальных процессов.

Что запомнить

• Показательная функция имеет вид y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1.
• Область определения — все действительные числа.
• Множество значений — все положительные числа.
• График проходит через точку (0; 1).
• При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 — убывает.
• График не пересекает ось Ox, но приближается к ней.
• Графики y = aˣ и y = (1/a)ˣ симметричны относительно оси Oy.