§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел

Определения и обозначения

Корнем n-й степени из комплексного числа z называют число w, для которого wⁿ = z, где n — натуральное число. Иными словами, извлечение корня — это решение уравнения wⁿ = z, а не отдельная операция, которая всегда даёт только одно значение. Такое определение помогает понять, почему у комплексного числа могут быть несколько корней.

Ненулевое комплексное число можно записать в тригонометрической форме: z = r(cos φ + i sin φ). Здесь r = |z| — модуль, то есть расстояние от точки z до начала координат, а φ — аргумент, угол с положительным направлением действительной оси. Эта запись удобна для возведения комплексных чисел в степень и извлечения корней.

Аргумент одного и того же ненулевого числа можно увеличить или уменьшить на полный оборот: φ и φ + 2πk задают одну точку при любом целом k. Поэтому при поиске корней нельзя ограничиваться только одним аргументом исходного числа. Все значения k помогают получить полный набор решений уравнения wⁿ = z.

Число 0 имеет единственный корень n-й степени — 0. Действительно, если wⁿ = 0, то w не может быть ненулевым: степень ненулевого числа также ненулевая. Этот случай рассматривают отдельно, поскольку у нуля нет аргумента и его нельзя представить в тригонометрической форме с положительным модулем.

Как это устроено

Пусть z и w ненулевые, и запишем их как z = r(cos φ + i sin φ), w = ρ(cos θ + i sin θ). По формуле Муавра wⁿ = ρⁿ(cos nθ + i sin nθ): при возведении в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на n. Чтобы wⁿ совпало с z, должны совпасть и модули, и аргументы с точностью до полного оборота. Так задача о комплексном уравнении превращается в два условия для обычных чисел.

Из совпадения модулей следует ρⁿ = r, поэтому ρ = ⁿ√r = ⁿ√|z|. Берут арифметический корень, то есть неотрицательное значение: модуль по определению не бывает отрицательным. Следовательно, все корни лежат на одной окружности, хотя соответствуют разным направлениям. Это объясняет, почему модуль исходного числа нельзя просто оставить без изменения.

Для аргументов нужно учесть, что φ и φ + 2πk задают одно исходное число. Поэтому nθ = φ + 2πk, откуда θ = (φ + 2πk)/n. Слагаемое 2πk даёт разные возможные направления корней; если его опустить, получится лишь одно решение. При вычислениях аргументы можно задавать в радианах или градусах, но все величины нужно выражать в одной системе.

Для полного списка выбирают k = 0, 1, …, n − 1. Если увеличить k на n, угол θ увеличится на 2π, а такой поворот возвращает к той же точке; поэтому значения с k ≥ n повторяются. Между тем любые два k из выбранного диапазона дают углы, отличающиеся на величину от 2π/n до 2π(n − 1)/n, то есть не на полный оборот. Значит, получаются именно n различных корней.

Соседние значения k меняют аргумент корня на 2π/n, а модуль у всех корней один и тот же — ⁿ√r. Поэтому точки на комплексной плоскости равноудалены от начала координат и равномерно идут по окружности. При n таких точках образуется правильный n-угольник с центром в начале координат. Это геометрическое описание позволяет проверить, что найденные корни распределены равномерно.

Формулы и свойства корней n-й степени из комплексного числа

Для ненулевого числа сначала найдите модуль r и один аргумент φ, затем подставьте k от 0 до n − 1 в общую формулу. По таблице удобно отдельно проверить количество ответов, их модуль и расположение. Для z = 0 применяют отдельную колонку: аргумент ему не нужен.

Разбор задач

Найти квадратные корни из числа −1.

1. Запишем −1 в тригонометрической форме: модуль равен 1, аргумент можно взять равным π. Тогда −1 = cos π + i sin π. Представление с другим аргументом, например −π, приведёт к тому же набору корней.
2. Для n = 2 модуль каждого корня равен √1 = 1, а аргументы имеют вид (π + 2πk)/2. При k = 0 получаем π/2, при k = 1 — 3π/2. Эти два значения задают противоположные направления на мнимой оси.
3. Переходим к алгебраической форме: cos(π/2) + i sin(π/2) = i, а cos(3π/2) + i sin(3π/2) = −i. Проверка возведением в квадрат даёт i² = (−i)² = −1. Ответ: i и −i.

Найти все кубические корни из числа 8.

1. Число 8 имеет модуль 8 и аргумент 0, поэтому 8 = 8(cos 0 + i sin 0). Модуль каждого кубического корня равен ∛8 = 2. Для получения всех корней используем k = 0, 1, 2.
2. Аргументы корней равны (0 + 2πk)/3. При k = 0 получаем 0, при k = 1 — 2π/3, а при k = 2 — 4π/3. Подстановка этих углов в тригонометрическую форму с модулем 2 даёт три корня.
3. В алгебраической форме это 2, −1 + i√3 и −1 − i√3. На комплексной плоскости их координаты: (2; 0), (−1; √3) и (−1; −√3). Все три точки находятся на окружности радиуса 2 и являются вершинами правильного треугольника.

Найти все четвёртые корни из числа 1 + i и записать их в алгебраической форме.

1. Модуль числа 1 + i равен √(1² + 1²) = √2, а аргумент равен π/4: обе координаты положительны, и угол лежит в первой четверти. Значит, 1 + i = √2(cos(π/4) + i sin(π/4)). Модуль каждого корня равен ⁴√√2 = 2¹⁄⁸.
2. Аргументы корней вычисляются по формуле (π/4 + 2πk)/4 = π/16 + kπ/2. Для k = 0, 1, 2, 3 получаем π/16, 9π/16, 17π/16 и 25π/16. Каждый корень имеет вид 2¹⁄⁸(cos θ + i sin θ) с одним из этих углов θ.
3. Переходя к алгебраической форме, умножаем косинус и синус каждого угла на 2¹⁄⁸. Приближённо получаем 1,069 + 0,213i; −0,213 + 1,069i; −1,069 − 0,213i; 0,213 − 1,069i. Округление здесь указано до тысячных, а точная форма каждого корня задаётся выражением из предыдущего шага. Ответ — все четыре числа.

Типичные ошибки

Если учесть только один аргумент исходного числа, можно найти лишь часть корней. Так происходит, когда забывают, что аргументы отличаются на 2πk. Проверьте себя: в формуле для аргумента корня должно присутствовать слагаемое 2πk.

Неправильно выбирать k без ограничения или остановиться, не получив n значений. В первом случае появятся повторы, во втором часть корней потеряется. Перечислите ровно k = 0, 1, …, n − 1 и убедитесь, что получено n различных точек.

Если разделить аргумент на n и не добавить 2πk, получится только одно направление. Часто это кажется достаточным, потому что выбранный корень действительно удовлетворяет уравнению. Проверка проста: сопоставьте число найденных решений с n и подставьте разные допустимые k.

Модуль корня не равен модулю исходного числа: он равен ⁿ√|z|. Ошибка возникает, если модуль забывают возвести в обратную степень вместе с аргументом. Проверьте результат возведением модуля корня в n-ю степень: он должен дать |z|.

Связь с другими темами

Для извлечения корней нужно уметь переходить между алгебраической и тригонометрической формами комплексного числа, находить его модуль и аргумент. При выводе формулы используется формула Муавра, а перебор значений k опирается на периодичность аргумента. Поэтому эти знания стоит повторить, если вычисления вызывают затруднения.

Найденные корни решают уравнения вида wⁿ = z, а их равномерное расположение помогает изучать геометрические преобразования комплексной плоскости. Например, умножение комплексного числа на число с модулем 1 поворачивает его, не меняя расстояния до начала координат. Так алгебраические вычисления связываются с поворотами и симметрией.

Что запомнить

• Корень n-й степени из z — решение уравнения wⁿ = z.
• У ненулевого комплексного числа ровно n различных корней n-й степени.
• Модуль каждого корня равен ⁿ√|z|.
• Аргументы корней имеют вид (φ + 2πk)/n.
• Для перечисления всех корней достаточно k = 0, 1, …, n − 1.
• Корни ненулевого числа равномерно расположены на окружности.