§ 9. Степенные функции, их свойства и графики

Определения и обозначения

Степенная функция — это функция вида y = xᵃ, где a — фиксированное число. Область определения зависит от показателя и от того, какие числа разрешено возводить в данную степень. Поэтому перед построением графика нужно выяснить, допустимы ли отрицательные значения x и число 0.

Натуральный показатель — число n = 1, 2, 3, … . Соответствующая функция имеет вид y = xⁿ и называется натуральной степенью аргумента. Знание чётности n помогает сразу определить симметрию графика и его множество значений.

Целый отрицательный показатель имеет вид −n, где n — натуральное число. По определению x⁻ⁿ = 1/xⁿ, поэтому такая функция является обратной величиной положительной степени. Это объясняет, почему x = 0 нельзя подставлять в формулу.

Дробный показатель записывают как m/n и связывают со корнем: xᵐ⁄ⁿ = ⁿ√(xᵐ), если дробь приведена к несократимому виду. При чётном знаменателе в действительных числах нужно x ≥ 0, а при нечётном знаменателе допустимы и отрицательные основания. Такая запись позволяет изучать функции с корнями как частный случай степенных.

Как это устроено

Вид степенной функции определяется показателем. Положительный показатель даёт обычную степень: при увеличении модуля x значения обычно растут, а отрицательный показатель превращает её в обратную величину, поэтому большие по модулю x дают значения, близкие к нулю. Для целого показателя дополнительно решает чётность: чётная степень теряет знак основания, а нечётная его сохраняет.

Если n чётно, то (−x)ⁿ = xⁿ, значит f(−x) = f(x). График такой функции симметричен относительно оси Oy: каждой точке с координатами (x; y) соответствует точка (−x; y). Если n нечётно, то (−x)ⁿ = −xⁿ, поэтому f(−x) = −f(x), и график симметричен относительно начала координат.

Отрицательный показатель меняет степень на обратную величину: x⁻ⁿ = 1/xⁿ. При x = 0 выражение xⁿ равно нулю, а дробь с нулём в знаменателе не имеет смысла. Поэтому область определения распадается на два промежутка: x < 0 и x > 0, а график получает две отдельные ветви.

Для дробного показателя xᵐ⁄ⁿ сначала нужно сократить дробь, потому что именно несократимый знаменатель показывает тип корня. При чётном n возникает корень чётной степени, определённый в действительных числах только от неотрицательного числа. При нечётном n корень существует для любого действительного основания, например ∛(−8) = −2.

Свойства функции находят в определённом порядке: сначала область определения, затем значения и нули, после этого проверяют чётность и монотонность. Нули ищут из уравнения xᵃ = 0, если точка x = 0 принадлежит области определения. По полученным данным определяют симметрию, расположение ветвей и поведение графика около особых точек.

Свойства степенных функций в зависимости от показателя

Таблица помогает выбрать свойства по типу показателя. Для дробного показателя сначала сократите дробь, затем посмотрите на чётность её знаменателя и, если нужно, числителя. Промежутки монотонности указываются только внутри области определения.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = x⁴ укажите область определения, множество значений, чётность и промежутки монотонности. Показатель положительный, целый и чётный, поэтому достаточно применить свойства этого типа степенных функций.

1. Любое действительное число можно возвести в четвёртую степень, значит D(y) = R.
2. x⁴ ≥ 0 для любого x, причём нуль получается при x = 0. Следовательно, E(y) = [0; +∞).
3. Проверим симметрию: f(−x) = (−x)⁴ = x⁴ = f(x), поэтому функция чётная.
4. При движении к нулю слева значения уменьшаются, а после нуля растут: функция убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞).

Ответ: D = R, E = [0; +∞); функция чётная, убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞).

Задача 2. Постройте эскиз графика y = 1/x³ и укажите область определения, множество значений и промежутки монотонности. Перепишем формулу как y = x⁻³: это отрицательная нечётная степень, а точка x = 0 запрещена.

1. D = R без {0}, поскольку знаменатель x³ не может быть равен нулю.
2. Значение y = 0 невозможно, но любое другое действительное значение получается при подходящем x, поэтому E = R без {0}.
3. f(−x) = 1/(−x)³ = −1/x³ = −f(x), значит функция нечётная и график симметричен относительно начала координат.
4. Функция убывает отдельно на (−∞; 0) и (0; +∞). Для эскиза отметьте точки (1; 1) и (−1; −1), а также учтите приближение к оси Ox при больших |x| и к оси Oy при приближении x к нулю.

Ответ: D = R без {0}, E = R без {0}; функция нечётная, убывает на обоих промежутках области определения, график имеет две ветви в I и III четвертях.

Задача 3. Сравните графики y = x²ᐟ³ и y = x³ᐟ²: найдите области определения и множества значений, определите чётность и опишите поведение. Дроби уже несократимы, поэтому их знаменатели 3 и 2 дают разные ограничения.

1. Для x²ᐟ³ = (∛x)² знаменатель нечётный, значит D = R, E = [0; +∞). Так как f(−x) = f(x), функция чётная; она убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞).
2. Для x³ᐟ² = (√x)³ нужен x ≥ 0, поэтому D = [0; +∞), а E = [0; +∞). Область не симметрична относительно нуля, так что функцию не называют чётной или нечётной.
3. Обе функции проходят через точки (0; 0) и (1; 1), но первая определена слева от нуля и имеет симметричные ветви. Вторая существует только справа и возрастает на всей своей области.

Ответ: для y = x²ᐟ³: D = R, E = [0; +∞), функция чётная; для y = x³ᐟ²: D = [0; +∞), E = [0; +∞), функция не является ни чётной, ни нечётной.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать область определения любой степенной функции равной R. Это неверно при отрицательном показателе и при корне чётной степени. Проверяйте знаменатели и ограничения подкоренного выражения до анализа графика.

Ошибка 2. Принимать отрицательную степень за отрицательное значение функции. Знак показателя означает обратную величину: x⁻ⁿ = 1/xⁿ. Подставьте, например, x = 2 и сравните 2⁻³ с −2³.

Ошибка 3. Определять чётность только по внешнему виду графика или по знаку показателя. Сначала область определения должна быть симметрична, затем нужно вычислить f(−x) и сравнить с f(x) и −f(x).

Ошибка 4. Записывать дробную степень через корень, не сокращая дробь и не учитывая чётность знаменателя. Например, 2/3 и 4/6 задают одну функцию, но ограничения удобнее определять после сокращения. Для чётного знаменателя в действительных числах требуется x ≥ 0.

Связь с другими темами

Для изучения степенных функций нужны правила действий со степенями и связь корня с дробным показателем. Без них трудно преобразовать x⁻ⁿ в дробь или понять запись xᵐ⁄ⁿ.

Анализ свойств опирается на область определения, множество значений, чётность и монотонность функции. Эти понятия позволяют читать и строить графики без вычисления большого числа точек.

Степенные функции используются при изучении производной функции xᵃ, а также степенных уравнений и неравенств. Их графики помогают строить более сложные функции с преобразованиями.

Что запомнить

• Степенная функция имеет вид y = xᵃ, а вид графика зависит от показателя.
• При положительном чётном целом показателе график симметричен относительно оси Oy и не принимает отрицательных значений.
• При положительном нечётном целом показателе функция нечётная и принимает любые действительные значения.
• При отрицательном целом показателе x = 0 не входит в область определения.
• Дробный показатель связывает возведение в степень с извлечением корня.
• При чётном знаменателе дробного показателя действительное значение обычно требует неотрицательного основания.
• Область определения и чётность нужно проверять до построения графика.