"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Степенная функция имеет вид y = xᵃ, где показатель a задаёт не только форму графика, но и допустимые значения x. По показателю можно предсказать, где функция определена, как меняется и обладает ли симметрией. Эти функции помогают описывать зависимости и служат основой для изучения уравнений, неравенств и других видов функций. Главное — проверять область определения и свойства по формуле, а затем сопоставлять их с графиком.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степенная функция — функция вида y = xᵃ, где a — постоянный показатель степени. Например, y = x² и y = x⁻¹ — степенные функции. Допустимые значения x зависят от показателя: при отрицательном показателе нельзя брать x = 0, а при некоторых дробных показателях есть другие ограничения. Поэтому область определения — множество всех x, для которых выражение имеет смысл, — нужно находить до исследования графика.
Чётная степенная функция — функция, график которой симметричен относительно оси y. Это означает, что при замене x на −x значение не меняется: f(−x) = f(x). Для целой чётной степени, например y = x⁴, равенство выполняется, потому что произведение чётного числа множителей −x положительно. Проверка помогает понять, можно ли отразить одну половину графика относительно оси y.
Нечётная степенная функция — функция, график которой симметричен относительно начала координат. Для неё выполняется равенство f(−x) = −f(x), как у y = x³. Если точка (x; y) лежит на таком графике, то на нём лежит и точка (−x; −y). Это свойство позволяет строить график по одной ветви и проверять, верно ли он расположен.
Обратная пропорциональность — частный случай степенной функции с отрицательным показателем; при a = −1 получаем y = x⁻¹ = 1/x. Здесь значение функции обратно пропорционально x: во сколько раз увеличивается x, во столько же раз уменьшается y. Ноль не входит в область определения, поскольку тогда пришлось бы делить на ноль. График y = 1/x состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях.
Показатель степени определяет, какие операции выполняются с x и как функция ведёт себя при больших или малых значениях аргумента. Если показатель — положительное целое число, функция задана при всех действительных x; при нулевом показателе x⁰ = 1 для x ≠ 0. Отрицательный показатель превращает степень в дробь: x⁻ⁿ = 1/xⁿ, поэтому ноль приходится исключить. Для дробного показателя, например x¹ᐟ² = √x, ограничения связаны с существованием корня: в действительных числах √x определён при x ≥ 0.
Симметрию при целом показателе объясняет знак результата после замены x на −x. Если n чётно, то (−x)ⁿ = xⁿ: отрицательные множители попарно дают положительные, и функция чётная. Если n нечётно, остаётся один множитель −x, поэтому (−x)ⁿ = −xⁿ и функция нечётная. Для отрицательных целых показателей тот же вывод сохраняется, если область определения симметрична относительно нуля: y = 1/xⁿ чётна при чётном n и нечётна при нечётном.
При положительном показателе график проходит через точки (0; 0) и (1; 1), поскольку 0ᵃ = 0 при a > 0 и 1ᵃ = 1. Если a > 1, значения при x от 0 до 1 меньше x, а при x > 1 растут быстрее x; график становится круче вдали от нуля. При 0 < a < 1 функция возрастает на неотрицательных x, но медленнее линейной функции y = x при x > 1. Для дробного показателя область определения и симметрия зависят от того, определена ли функция при отрицательных x.
Отрицательный показатель означает, что при удалении x от нуля модуль функции уменьшается: например, |1/xⁿ| стремится к нулю при больших |x|. Около нуля, напротив, знаменатель становится малым, поэтому значение функции по модулю неограниченно растёт. При чётном n обе ветви y = 1/xⁿ находятся выше оси x, а при нечётном одна ветвь расположена в первой четверти, другая — в третьей. У графика y = 1/xⁿ ось y — вертикальная асимптота, а ось x — горизонтальная: ветви приближаются к ним, не пересекая.
Исследование удобно вести по формуле в одном порядке: сначала найти область определения, затем область значений и нули, после этого проверить чётность и монотонность. Нуль функции — такое значение x, при котором y = 0; у положительной степени это x = 0, а у отрицательной нулей нет. Промежутки возрастания и убывания показывают, как меняется y при движении слева направо, а симметрия позволяет восстановить часть графика. Такое описание помогает не спутать похожие кривые и заметить ошибку в построении.
Как это устроено
| Свойство | y = xⁿ, n > 0, чётное | y = xⁿ, n > 0, нечётное | y = x⁻ⁿ, n > 0, чётное | y = x⁻ⁿ, n > 0, нечётное |
|---|---|---|---|---|
| Область определения | ℝ | ℝ | ℝ {0} | ℝ {0} |
| Множество значений | [0; +∞) | ℝ | (0; +∞) | ℝ {0} |
| Чётность функции | Чётная | Нечётная | Чётная | Нечётная |
| Промежутки возрастания и убывания | Убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞) | Возрастает на всей ℝ | Возрастает на (−∞; 0), убывает на (0; +∞) | Убывает на (−∞; 0) и (0; +∞) |
| Нули функции | x = 0 | x = 0 | Нет | Нет |
| Поведение при x = 0 | Определена, y = 0 | Определена, y = 0 | Не определена; при x → 0 значение стремится к +∞ | Не определена; при x → 0⁻ значение стремится к −∞, при x → 0⁺ — к +∞ |
| Симметрия графика | Относительно оси y | Относительно начала координат | Относительно оси y | Относительно начала координат |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите знак показателя и чётность числа n, затем найдите соответствующий столбец. Область определения и значения записаны с учётом того, что отрицательная степень не допускает нуля. Для дробных показателей таблица не подходит без проверки дополнительных ограничений.
Нужно определить область определения, множество значений, чётность и промежутки монотонности. Здесь показатель положительный и чётный, поэтому можно сразу применить свойства чётной степенной функции. Проверим каждое свойство по формуле, чтобы не полагаться только на вид графика.
Ответ: область определения ℝ, множество значений [0; +∞), функция чётная; убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞).
Нужно построить график и указать область определения, нули и асимптоты. Отрицательный показатель заменим дробью: y = 1/x³. Знаменатель подсказывает, что ноль исключён, а нечётная степень помогает установить расположение ветвей.
Ответ: D = ℝ {0}, нулей нет, асимптоты — x = 0 и y = 0; ветви расположены в первой и третьей четвертях.
Сравним графики на общей области определения и найдём, где значения равны. Для корня x¹ᐟ² = √x требуется x ≥ 0, тогда как x² определена на всей прямой. Общая область определения функций — [0; +∞), и только на ней можно искать точки пересечения.
Ответ: общая область определения — [0; +∞); графики пересекаются при x = 0 и x = 1, в точках (0; 0) и (1; 1).
Считать, что любая степенная функция определена на всей числовой прямой, — неверно. Так думают, перенося свойства целых положительных степеней на дробные и отрицательные показатели. Проверка проста: выясните, не появляется ли корень из отрицательного числа и не становится ли знаменатель равным нулю.
Включать x = 0 в область определения функции с отрицательным показателем нельзя. Ошибка возникает, если рассматривать x⁻ⁿ только как запись степени и забывать, что это 1/xⁿ. Перепишите выражение дробью и подставьте ноль в знаменатель: если он обращается в ноль, значение функции не существует.
Чётность показателя и чётность функции — связанные, но не одинаковые понятия. Иногда судят только по записи и не учитывают область определения либо считают, что любая степенная функция с чётным показателем автоматически чётная. Подставьте −x вместо x и проверьте равенство f(−x) = f(x) или f(−x) = −f(x).
Свойства графика y = xⁿ нельзя без проверки переносить на y = x⁻ⁿ. Такая ошибка возникает из-за похожей записи, хотя отрицательный показатель означает деление и меняет поведение около нуля и на бесконечности. Сравните формулы xⁿ и 1/xⁿ, отдельно проверьте область определения, нули и асимптоты.
Для изучения степенных функций нужны знания о степенях с целыми и дробными показателями, их свойствах и допустимых операциях. Также пригодятся умения находить область определения, нули и промежутки монотонности, а ещё проверять симметрию графика подстановкой −x. Эти навыки используются при преобразовании графиков, решении уравнений и неравенств. Степенные функции помогают подготовиться к изучению показательной и логарифмической функций.
Почему область определения степенной функции зависит от показателя?
При целом положительном показателе x можно возводить в степень при любом действительном значении. Отрицательный показатель означает деление на степень x, поэтому x = 0 исключается. Для дробного показателя могут понадобиться ограничения: например, в √x под корнем не может быть отрицательное число.
Как по формуле понять, будет ли график симметричен?
Подставьте вместо x число −x и сравните результат с f(x) и −f(x). Если f(−x) = f(x), функция чётная и график симметричен относительно оси y. Если f(−x) = −f(x), функция нечётная и график симметричен относительно начала координат.
Почему функция с отрицательным показателем не определена при x = 0?
Отрицательная степень означает обратную величину: x⁻ⁿ = 1/xⁿ. При x = 0 знаменатель становится нулём, а на ноль делить нельзя. Поэтому ноль не принадлежит области определения такой функции.
Как отличить графики функций с чётными и нечётными показателями?
При положительном чётном показателе график расположен не ниже оси x и симметричен относительно оси y. При положительном нечётном показателе ветви проходят через начало координат и симметричны относительно него. Для отрицательных показателей тоже проверяют чётность, но график не проходит через x = 0.
Как построить график степенной функции, если показатель дробный?
Сначала определите область допустимых x: например, для y = x¹ᐟ² нужны x ≥ 0. Затем вычислите несколько значений функции, отметьте соответствующие точки и плавно соедините их с учётом монотонности. Для отрицательного дробного показателя дополнительно исключите значения, при которых основание степени обращается в ноль.
§ 38. Степенные функции, их свойства и графики
