"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Радикалы — это выражения со знаками корня, которые можно преобразовывать, не меняя их значения и учитывая область допустимых значений. Такие преобразования помогают упрощать вычисления, работать с дробями и решать уравнения. Главное — помнить, что арифметический корень чётной степени неотрицателен, а свойства корня применимы только при допустимых подкоренных выражениях. Множитель можно вынести из-под корня, если он образует полную степень.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметический корень n-й степени — неотрицательное число, n-я степень которого равна подкоренному числу. Если n чётное, подкоренное число должно быть неотрицательным; если n нечётное, корень существует и для отрицательного числа. Это определение помогает сразу проверять, имеет ли выражение смысл.
Вынесение множителя из-под знака корня — преобразование, при котором множитель, являющийся полной n-й степенью, записывают перед радикалом. Например, √(9 · 2) = 3√2. Так можно сделать запись короче и облегчить вычисления.
Внесение множителя под знак корня — объединение числа и корня в один радикал с учётом знака множителя и чётности корня. При положительном множителе его возводят в степень, равную показателю корня: a · ⁿ√b = ⁿ√(aⁿb). Это удобно, когда нужно сравнить выражения или выполнить действия с радикалами.
Освобождение от иррациональности знаменателя — преобразование дроби, после которого в знаменателе не остаётся корней. Для этого числитель и знаменатель умножают на подходящее выражение. Так дробь становится удобнее для дальнейших преобразований.
Связь корня с возведением в степень задаёт само определение: корень — это число, которое при возведении в n-ю степень даёт подкоренное выражение. Для чётного показателя уравнение xⁿ = a при a < 0 не имеет действительных решений, поэтому арифметический корень чётной степени существует только при a ≥ 0. Из двух чисел, степени которых могли бы дать одно положительное значение, выбирают неотрицательное. Поэтому √9 = 3, а не ±3: знак ± появляется при решении уравнения x² = 9, а не при записи арифметического корня.
Корень произведения связан с тем, что произведение корней при возведении в n-ю степень даёт произведение подкоренных чисел: (ⁿ√a · ⁿ√b)ⁿ = ab. Поэтому ⁿ√(ab) можно представить как ⁿ√a · ⁿ√b, если сами корни определены. Для корней чётной степени это требует a ≥ 0 и b ≥ 0; для нечётной степени ограничения на знаки нет. Свойство позволяет разложить подкоренное число на удобные множители и обнаружить среди них полную степень.
При вынесении множителя используют обратное действие: выделяют под корнем множитель вида cⁿ и применяют равенство ⁿ√(cⁿ) = c для нечётного n. При чётном n результат равен |c|, поскольку арифметический корень неотрицателен. Например, √(a²b) = |a|√b при b ≥ 0. Именно поэтому нельзя без проверки заменять √(a²) на a: это верно только при a ≥ 0.
Чтобы внести положительный множитель под корень, нужно подобрать подкоренное выражение, корень из которого даст исходное произведение. Для корня степени n множитель возводят в n-ю степень: a · ⁿ√b = ⁿ√(aⁿb) при a ≥ 0 для чётного n. Проверка возведением подтверждает равенство: правая часть равна a · ⁿ√b. Если множитель отрицательный, при чётном n результат исходного произведения отрицателен, а арифметический корень не может быть отрицательным, поэтому знак минус оставляют снаружи.
Знаменатель с корнем можно преобразовать, умножив дробь на выражение, равное единице. Если знаменатель — разность или сумма двух слагаемых, одно из которых содержит корень, удобно взять сопряжённое выражение: произведение суммы и разности превращается в разность квадратов. Корни тогда могут сократиться, как в (√a − b)(√a + b) = a − b². Домножать нужно и числитель, и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение, иначе значение дроби изменится.
| Преобразование | Правило | Условия и ограничения |
|---|---|---|
| Корень из произведения | ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b | При чётном n: a ≥ 0 и b ≥ 0; при нечётном ограничений на знаки нет. |
| Вынесение множителя из-под корня | ⁿ√(cⁿb) = c · ⁿ√b при нечётном n; при чётном n — |c| · ⁿ√b | Подкоренные выражения должны быть допустимыми; при чётном корне b ≥ 0. |
| Внесение множителя под корень | c · ⁿ√b = ⁿ√(cⁿb) | При чётном n требуется c ≥ 0; отрицательный знак оставляют снаружи. |
| Освобождение знаменателя от радикала | Дробь умножают сверху и снизу на подходящее выражение | Домножитель не равен нулю; значение дроби сохраняется. |
Сначала выберите строку по виду выражения, затем проверьте условия в третьем столбце. При работе с переменными отдельно выясните, может ли подкоренное выражение быть отрицательным и не равен ли знаменатель нулю. Таблица подсказывает способ преобразования, но не отменяет проверку области допустимых значений.
Задача 1. Упростите √72. Нужно найти в числе 72 наибольший удобный квадратный множитель. Это позволит извлечь часть корня и оставить под радикалом более простое число.
Ответ: 6√2. Подобным образом ищут множитель, который является полной степенью нужного показателя.
Задача 2. Представьте 3√5 в виде одного радикала. Множитель положительный, а показатель корня равен двум, поэтому внесём его под корень, возведя в квадрат. Так равенство сохранится и внешнего множителя не останется.
Ответ: √45. При необходимости этот радикал можно упростить обратно до 3√5.
Задача 3. Упростите дробь 1/(√5 − 2). В знаменателе стоит разность, поэтому используем сопряжённое выражение √5 + 2. Оно выбрано так, чтобы при умножении корни исчезли из знаменателя.
Ответ: √5 + 2. Проверка показывает, что знаменатель стал рациональным, а умножение на дробь, равную единице, не изменило значение исходного выражения.
Для преобразования радикалов нужны свойства степеней, разложение многочленов на множители и умение находить область допустимых значений. Корни связывают рациональные и иррациональные числа: например, √2 — иррациональное число. Эти преобразования пригодятся при упрощении выражений, решении уравнений и действиях с иррациональными числами. Позже те же идеи можно описывать с помощью степеней с рациональным показателем.
Почему √(a²) равно модулю a, а не самому a?
Арифметический квадратный корень по определению неотрицателен. Число a может быть отрицательным, поэтому √(a²) должно быть равно |a|: например, √((-3)²) = 3, а не −3.
Можно ли извлечь квадратный корень из суммы двух чисел по частям?
Нет, равенство √(a + b) = √a + √b в общем случае неверно. Например, √(1 + 8) = 3, а √1 + √8 не равно 3. Корень можно распределять по произведению, но не по сумме или разности.
Как понять, какой множитель можно вынести из-под знака корня?
Нужно разложить подкоренное выражение на множители и найти среди них полную степень с показателем, равным показателю корня. Например, в √72 выделяем 36: √72 = √(36 · 2) = 6√2. Для чётного корня при вынесении переменной учитывают модуль.
Когда отрицательное число можно внести под знак корня?
Под корень чётной степени отрицательный множитель вносить нельзя: его степень будет положительной, но при сохранении равенства потребуется отдельно учитывать знак всего выражения. Под корень нечётной степени отрицательное число внести можно, поскольку корень нечётной степени определён и для отрицательных чисел.
Зачем при преобразовании дроби умножают её на сопряжённое выражение?
Сопряжённое выражение отличается знаком между слагаемыми, и произведение такой пары убирает корень из знаменателя. Например, (√5 − 2)(√5 + 2) = 5 − 4 = 1. Чтобы значение дроби не изменилось, на сопряжённое выражение умножают и числитель, и знаменатель.
§ 36. Преобразование выражений, содержащих радикалы
