"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Корень n-й степени — число, которое при возведении в степень n даёт подкоренное выражение. При чётном n арифметический корень существует только из неотрицательного числа и сам неотрицателен; при нечётном n подкоренное число может быть любым действительным. Свойства корней помогают вычислять и упрощать выражения, но при каждом преобразовании важно учитывать знак выражений и область допустимых значений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметический корень n-й степени из числа a при чётном n — это неотрицательное число, n-я степень которого равна a; поэтому a должно быть неотрицательным. При нечётном n корень существует для любого действительного a. Это определение помогает сразу установить, можно ли выполнять действие в действительных числах.
Корень n-й степени обозначают √[n]{a}. Число n называют показателем корня, а a — подкоренным выражением. Индекс показывает, в какую степень нужно возвести результат, чтобы получить подкоренное выражение; если показатель не записан, обычно подразумевают квадратный корень.
Корень чётной степени имеет одно значение — неотрицательное, а корень нечётной степени сохраняет знак подкоренного числа. Например, √[4]{16} = 2, но √[3]{−8} = −2. Это различие важно при упрощении выражений: чётная степень стирает знак исходного числа, а нечётная — нет.
Если n чётно, то степень xⁿ неотрицательна при любом действительном x: множители можно сгруппировать в пары одинаковых чисел, и произведение каждой пары неотрицательно. Поэтому отрицательное число не может быть результатом такой степени, и корень чётной степени из него не существует в действительных числах. При нечётном n отрицательных множителей остаётся нечётное число, поэтому отрицательное основание даёт отрицательную степень; ограничений по знаку подкоренного числа нет.
Извлечение корня обращает возведение в соответствующую степень: если xⁿ = a, то x является корнем n-й степени из a. При нечётном n такое x единственно и √[n]{aⁿ} = a. При чётном n числа a и −a дают одну и ту же степень, а арифметическим корнем выбирают неотрицательное значение, поэтому √[n]{aⁿ} = |a|.
Корень из произведения можно разделить на корни множителей: √[n]{ab} = √[n]{a} · √[n]{b}. Равенство следует из того, что произведение корней в n-й степени даёт ab; для чётного n оба множителя под корнями должны быть неотрицательными. Аналогично √[n]{a/b} = √[n]{a}/√[n]{b}, если корни допустимы и b ≠ 0: знаменатель дроби не может обращаться в ноль.
Чтобы вынести множитель из-под корня, используют равенство aⁿb под корнем = aⁿ, умноженное на b, а затем извлекают корень из aⁿ. Для чётного n получается |a|√[n]{b}, поскольку арифметический корень неотрицателен; для нечётного — a√[n]{b}. При внесении множителя под корень используют обратное действие: a√[n]{b} = √[n]{aⁿb} для нечётного n, а для чётного n так можно сделать без изменения знака при a ≥ 0.
Эти преобразования согласуются со степенями с рациональными показателями: при допустимых значениях √[n]{a} = a^(1/n). Тогда свойства корней следуют из правил действий со степенями, например a^(1/n)b^(1/n) = (ab)^(1/n). Однако такие записи не отменяют ограничений: перед преобразованием нужно проверить знак основания при чётном знаменателе показателя, а также исключить нулевой знаменатель.
| Свойство | Формула | Условия |
|---|---|---|
| Корень из произведения | √[n]{ab} = √[n]{a} · √[n]{b} | Все корни определены; при чётном n: a ≥ 0, b ≥ 0 |
| Корень из частного | √[n]{a/b} = √[n]{a}/√[n]{b} | b ≠ 0; все корни определены |
| Корень из степени | √[n]{aⁿ} = |a| при чётном n; a при нечётном n | a — действительное число |
| Вынос множителя из-под корня | √[n]{aⁿb} = |a|√[n]{b} при чётном n; a√[n]{b} при нечётном n | Подкоренные выражения допустимы |
| Внесение множителя под корень | a√[n]{b} = √[n]{aⁿb} при нечётном n; при чётном n — если a ≥ 0 | Подкоренные выражения допустимы; при чётном n отрицательный множитель оставляют перед корнем |
Сначала проверь условия в правом столбце, а затем выбирай нужное равенство. Особенно внимательно проверяй чётность показателя и знаменатель дроби: сами формулы не делают недопустимое выражение допустимым.
Ответ: −4 и 3.
Ответ: 2ab² и 2|x|; a, b, x — любые действительные числа.
Ответ: выражение определено при x ≠ 2; оно равно 1 при x > 2 и −1 при x < 2.
Ошибка: считать, что корень чётной степени из отрицательного числа существует в действительных числах. Её допускают, перенося на чётный корень правило для кубического корня; но чётная степень любого действительного числа неотрицательна. Проверяй подкоренное выражение до вычисления: при чётном показателе оно должно быть не меньше нуля.
Ошибка: писать √[n]{aⁿ} = a при чётном n. Возведение в чётную степень даёт одинаковый результат для a и −a, а арифметический корень выбирает неотрицательное значение; поэтому верно √[n]{aⁿ} = |a|. Для проверки подставь отрицательное значение, например a = −2: корень из a⁴ равен 2, а не −2.
Ошибка: применять свойство корня из частного, не проверив знаменатель и допустимость корней. Иногда замечают только знаменатель дроби, забывая, что при чётном n подкоренные выражения также должны быть неотрицательными. Перед преобразованием отдельно проверь эти условия, а затем убедись, что знаменатель не равен нулю.
Ошибка: вносить отрицательный множитель под корень чётной степени без изменения знака. Так нарушается требование, что арифметический корень неотрицателен, или получается недопустимое подкоренное выражение. При a < 0 сначала вынеси минус: a√[n]{b} = −√[n]{|a|ⁿb}, если b допустимо; проверка знака помогает заметить ошибку.
Для работы с корнями нужны степень с натуральным показателем и её свойства: разложение произведения и понимание чётности степени помогают находить корень и проверять знак результата. Правила действий с модулем объясняют, почему при чётном показателе появляется |a|. Позже корни связываются со степенями с рациональными показателями: √[n]{a} записывают как a^(1/n) при допустимых значениях. Эти преобразования применяют при упрощении выражений, решении уравнений и неравенств.
Почему корень чётной степени из отрицательного числа не является действительным?
Степень любого действительного числа с чётным показателем неотрицательна: отрицательное число при умножении на себя чётное число раз даёт положительный результат. Поэтому ни одно действительное число в чётной степени не может дать отрицательное подкоренное число.
Почему √[4]{x⁴} равно |x|, а не x?
Арифметический корень чётной степени по определению неотрицателен. Если x отрицательно, то x⁴ положительно, но корень из него равен −x, а не отрицательному x; это и записывают как |x|.
Можно ли извлекать корень из произведения и частного?
Да, если выражения под корнями допустимы: √[n]{ab} = √[n]{a} · √[n]{b}. Для частного дополнительно требуется, чтобы знаменатель был ненулевым; при чётном n подкоренные числа должны быть неотрицательными.
Когда при вынесении множителя из-под корня появляется модуль?
Модуль появляется при вынесении из корня чётной степени: √[n]{aⁿ} = |a|, если n чётно. Он нужен, чтобы результат оставался неотрицательным даже при отрицательном a; при нечётном n модуль не нужен.
Как понять, допустимо ли внесение множителя под корень?
Для корня нечётной степени множитель можно внести как есть: a√[n]{b} = √[n]{aⁿb}. Для чётной степени это равенство верно без изменения знака при a ≥ 0; если a < 0, нужно вынести минус перед корнем и внести под корень |a|.
§ 35. Свойства корня n-й степени
