"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Функция y = √x каждому неотрицательному числу x сопоставляет его арифметический квадратный корень. Она определена только при x ≥ 0 и принимает лишь неотрицательные значения. Её график начинается в точке (0; 0), проходит через точки с координатами (1; 1), (4; 2), (9; 3) и возрастает. Знание этой функции помогает строить графики, находить область допустимых значений и решать уравнения с корнями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — неотрицательное число, квадрат которого равен a; его обозначают √a. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9, а √9 не равно −3: выбирают именно неотрицательное значение. Это определение позволяет правильно понимать знак корня и проверять вычисления возведением результата в квадрат.
Функция y = √x каждому неотрицательному x ставит в соответствие арифметический квадратный корень из x. Например, при x = 4 значение функции равно 2. Функцией называют правило, по которому каждому допустимому аргументу соответствует ровно одно значение; здесь это правило помогает описать зависимость между x и y.
Область определения функции — множество всех допустимых значений аргумента. Для функции y = √x это все x ≥ 0, поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа. Область определения нужна, чтобы понимать, при каких значениях x формула имеет смысл.
Множество значений функции — множество чисел, которые она принимает. Для y = √x это все y ≥ 0: корень не бывает отрицательным, и каждое неотрицательное y получается при x = y². Это понятие помогает описать возможные результаты работы функции и положение её графика.
Под корнем в формуле y = √x стоит аргумент x, поэтому он должен быть неотрицательным. Если бы x было отрицательным, понадобилось бы действительное число, квадрат которого равен отрицательному числу, а квадрат любого действительного числа неотрицателен. Значит, условие существования значения функции — x ≥ 0, и именно оно задаёт область определения [0; +∞).
График можно получить, вычисляя y для удобных значений x и отмечая точки с координатами (x; y). Лучше выбирать полные квадраты, потому что их корни находятся точно: при x = 0, 1, 4, 9 получаем y = 0, 1, 2, 3. Отмеченные точки соединяют плавной линией, поскольку между выбранными значениями функция тоже определена и меняется постепенно.
График начинается в точке (0; 0), так как при x = 0 значение √x равно 0, а отрицательные x не входят в область определения. Он проходит через (1; 1), (4; 2), (9; 3), потому что 1² = 1, 2² = 4 и 3² = 9. Координаты этих точек показывают, что график лежит над осью Ox или на ней; отрицательных y быть не может, ведь арифметический корень неотрицателен.
При увеличении неотрицательного x увеличивается и его арифметический квадратный корень. Например, если 0 ≤ x₁ < x₂, то √x₁ < √x₂: иначе меньший аргумент дал бы корень не меньше большего, что противоречит сравнению их квадратов. Поэтому график поднимается слева направо, а функция возрастает на всей области определения.
Нуль функции находят из условия y = 0: уравнение √x = 0 выполняется только при x = 0. Все значения функции неотрицательны, а каждое y ≥ 0 достигается при x = y², поэтому множество значений — [0; +∞). Функция ограничена снизу нулём и достигает его, но сверху не ограничена: при увеличении x значения √x тоже могут становиться сколь угодно большими.
| Свойство | Характеристика |
|---|---|
| Область определения | x ∈ [0; +∞) |
| Множество значений | y ∈ [0; +∞) |
| Нуль функции | x = 0 |
| Промежутки возрастания и убывания | Возрастает на [0; +∞); промежутков убывания нет |
| Наибольшее и наименьшее значения | Наименьшее — 0 при x = 0; наибольшего нет |
| Ограниченность | Ограничена снизу числом 0, сверху не ограничена |
| Расположение графика | На положительных полуосях координат и в первой четверти |
Пользуйтесь таблицей как краткой проверкой решения: сначала определите допустимые x, затем проверьте возможные y и поведение функции. Если строите график, его вид должен согласовываться с этими характеристиками. Например, ветвь не может уходить ниже оси Ox или продолжаться влево от x = 0.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, иначе арифметический квадратный корень не будет действительным числом. Здесь под корнем находится не просто x, а выражение x − 3, поэтому условие составляем именно для него. Границы области определения найдём, решив соответствующее неравенство.
Записываем условие существования корня: x − 3 ≥ 0. Это требование допускает и ноль под корнем.
Прибавляем 3 к обеим частям неравенства: x ≥ 3. Следовательно, аргументом может быть любое число, не меньшее трёх.
Записываем результат в виде промежутка: [3; +∞). Квадратная скобка у числа 3 означает, что это значение входит в область определения.
Ответ: D(y) = [3; +∞).
Чтобы построить график без приближённых вычислений, берём аргументы, являющиеся квадратами целых чисел. Вычисляем значения функции и записываем их как пары координат (x; y). После нанесения точек соединяем их плавной возрастающей линией, начиная с допустимой границы x = 0.
Выбираем x = 0, 1, 4, 9. Получаем соответственно y = 0, 1, 2, 3, поскольку эти числа являются арифметическими корнями выбранных аргументов.
Отмечаем точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3) и проводим через них плавную возрастающую кривую. Слева от начала координат графика нет, потому что при x < 0 корень не определён.
Нуль находим по условию √x = 0: оно выполняется при x = 0. Значения y неотрицательны, и каждое неотрицательное число получается, если взять x = y².
Ответ: нуль функции — x = 0; множество значений — [0; +∞).
Равенство двух выражений означает, что при одном и том же x графики функций y = √x и y = 4 − x имеют одинаковую высоту. Поэтому решение ищут по абсциссе их точки пересечения. Для проверки удобно подставить найденное значение в исходное уравнение: графическое чтение может быть неточным.
Строим на одной системе координат график y = √x и прямую y = 4 − x. Первый график рассматриваем только при x ≥ 0; прямая убывает, поэтому их пересечение можно искать справа от начала координат.
По графику точка пересечения имеет координаты (4; 0). Её абсцисса x = 4 и является предполагаемым решением, потому что в точке пересечения ординаты графиков равны.
Проверяем подстановкой: √4 = 2, а 4 − 4 = 0, эти числа не равны. Значит, считывание точки было ошибочным; пересечение находится в другой точке. Проверим x = 1: √1 = 1 и 4 − 1 = 3, равенства нет; x = 4 также не подходит.
Уточним решение: при x = 0 левая часть 0, правая 4; при x = 4 левая часть 2, правая 0. Графики пересекаются между этими значениями; решив проверку через t = √x, получаем t = 4 − t², то есть t² + t − 4 = 0. Положительный корень t = (√17 − 1)/2, поэтому x = t² = (9 − √17)/2.
Ответ: x = (9 − √17)/2 ≈ 2,44. Графический способ даёт приближённую абсциссу пересечения, а проверка и точное вычисление помогают убедиться в ответе.
Ошибка: считать, что √x определён при x < 0. Её допускают, смешивая арифметический квадратный корень с решением уравнения u² = x: для отрицательного x действительного u не существует. Проверяйте аргумент под корнем; он должен быть не меньше нуля.
Ошибка: заменять условие x ≥ 0 на x > 0 и исключать ноль. Так происходит, когда забывают, что корень будто бы требует строго положительного числа. Подстановка x = 0 показывает, что √0 = 0, поэтому ноль допустим.
Ошибка: называть область определения и множество значений одним и тем же свойством. В этом примере их числовые промежутки совпадают, но первая характеристика относится к аргументу x, а вторая — к результату y. Чтобы проверить себя, указывайте отдельно допустимые x и возможные значения функции.
Ошибка: рисовать график ниже оси Ox или указывать отрицательные значения y. Причина — забытое свойство арифметического корня: его значение всегда неотрицательно. Сверьте рисунок с формулой √x ≥ 0: вся кривая должна лежать на оси Ox или выше неё.
Для изучения функции нужно знать определение арифметического квадратного корня: без него непонятно, при каких x формула имеет смысл. Также пригодятся свойства неравенств, поскольку область определения находят решением условия «подкоренное выражение неотрицательно». Построение графика по точкам помогает перейти от таблицы значений к наглядному представлению функции.
Функция y = √x встречается при преобразованиях графиков и решении уравнений и неравенств, содержащих корни. Она также связана с обратными функциями: возведение в квадрат обращает действие корня на неотрицательных числах. Поэтому понимание её области определения и графика понадобится в следующих темах.
Функция y = √x определена только при x ≥ 0.
Значения функции неотрицательны: y ≥ 0.
График проходит через начало координат.
Функция возрастает на всей области определения.
Нуль функции — x = 0.
График расположен в первой координатной четверти и на положительных полуосях.
Почему нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа?
Квадрат любого действительного числа неотрицателен: например, и положительное, и отрицательное число при возведении в квадрат дают результат не меньше нуля. Поэтому среди действительных чисел нет такого, квадрат которого равен отрицательному числу. Значит, арифметический квадратный корень из отрицательного числа не определён.
Входит ли ноль в область определения функции y = √x?
Да, ноль входит в область определения, потому что подкоренное выражение может быть равно нулю. При x = 0 получаем √0 = 0. Поэтому условие для аргумента записывают как x ≥ 0, а не x > 0.
Как по формуле определить область определения функции с корнем?
Нужно потребовать, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Затем решить полученное неравенство и записать все допустимые значения аргумента. Например, для y = √(x − 3) условие x − 3 ≥ 0 даёт x ≥ 3.
Почему функция y = √x возрастает?
Если неотрицательное число x увеличивается, его квадратный корень тоже увеличивается. Действительно, большему неотрицательному корню соответствует больший квадрат. Поэтому при движении по графику слева направо значения y растут.
Как построить график функции y = √x без калькулятора?
Выберите значения x, из которых корень извлекается точно: 0, 1, 4, 9, 16. Вычислите соответствующие y и отметьте точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4). Затем соедините точки плавной возрастающей линией, не продолжая её в область x < 0.
§ 34. Функции у = √x, их свойства и графики
