§ 33. Понятие корня п-й степени из действительного числа

Определения и обозначения

Корень n-й степени из числа a — это число b, для которого bⁿ = a. Иными словами, возведение b в степень n должно дать подкоренное число a. При чётном n арифметическим корнем считают неотрицательное значение, чтобы знак радикала обозначал одно определённое число.

Арифметический корень n-й степени из a — неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Такой корень определён в действительных числах, если a ≥ 0 при чётном n; для нечётного n ограничений на a нет. Это уточнение помогает понять, когда запись с радикалом имеет действительное значение.

Показатель корня n — натуральное число, которое показывает, в какую степень надо возвести корень. Например, в записи √[5]{32} показатель равен 5: искомое число в пятой степени должно дать 32. По показателю сразу можно определить, какие значения допустимы под знаком корня.

Радикал — знак √, а подкоренное выражение — число или выражение, записанное под этим знаком. Вместе с указанием степени запись выглядит так: √[n]{a}; число n пишут слева сверху от радикала. При n = 2 показатель обычно опускают и пишут √a, поэтому в таком случае его нужно подразумевать.

Как это устроено

Возведение в степень ставит задачу: по числу найти его степень. Корень решает обратную задачу — по результату степени восстановить исходное число. Например, если известно, что некоторое число в кубе равно 27, нужно найти число, которое при умножении на себя три раза даёт 27. Такая постановка и приводит к уравнению xⁿ = a.

При нечётном n возведение действительных чисел в степень сохраняет порядок: если одно число меньше другого, его нечётная степень тоже меньше. Кроме того, отрицательное число в нечётной степени остаётся отрицательным, а положительное — положительным. Поэтому для любого действительного a график соответствующей зависимости достигает значения a ровно один раз, а уравнение xⁿ = a имеет единственный действительный корень.

При чётном n и a > 0 уравнение имеет два решения: если bⁿ = a, то и (−b)ⁿ = a, потому что минусы при чётном числе множителей сокращаются. Значит, решения противоположны друг другу. Если a = 0, единственным решением будет 0, ведь только ноль в положительной степени даёт ноль; если a < 0, решений нет, поскольку чётная степень неотрицательна.

Уравнение xⁿ = a спрашивает обо всех числах, удовлетворяющих равенству, а запись √[n]{a} обозначает арифметический корень. Поэтому при чётном n и a > 0 у уравнения два решения, но радикал задаёт только положительное из них. Например, у x² = 9 решения 3 и −3, тогда как √9 = 3. Различие нужно, чтобы при работе с выражениями знак корня не означал сразу два значения.

Условие существования радикала в действительных числах зависит от чётности показателя. Чётная степень любого действительного числа неотрицательна, поэтому под чётным корнем нельзя поставить отрицательное число. Нечётная степень может быть отрицательной, так что корень нечётной степени существует и для отрицательного подкоренного числа. Это правило позволяет ещё до вычислений определить, имеет ли запись действительный смысл.

Корни n-й степени в действительных числах

Сначала найдите в таблице чётность показателя, затем сопоставьте ей знак подкоренного числа. Так можно установить количество решений уравнения и отдельно проверить, существует ли значение радикала. Не смешивайте число решений уравнения со значением арифметического корня.

Разбор задач

Задача 1. Найти все действительные решения уравнения x³ = −8. Показатель 3 нечётный, поэтому решение существует и должно быть единственным. Подберём число, куб которого равен −8, и проверим его подстановкой.

1. Замечаем, что отрицательное число в нечётной степени остаётся отрицательным, поэтому ищем отрицательное решение.
2. Так как 2³ = 8, получаем (−2)³ = −8.
3. Подстановка подтверждает равенство, а единственность следует из нечётности показателя.

Ответ: x = −2.

Задача 2. Найти все действительные решения уравнения x⁴ = 16, а затем указать значение √[4]{16}. Чётный показатель и положительная правая часть означают, что уравнение имеет два противоположных решения. При вычислении радикала нужно выбрать только неотрицательное из них.

1. Проверяем число 2: 2⁴ = 16, значит, x = 2 подходит.
2. Для чётной степени противоположное число даёт ту же степень: (−2)⁴ = 16. Следовательно, x = −2 тоже подходит, и других решений нет.
3. Арифметический корень неотрицателен, поэтому из двух решений радикал задаёт число 2.

Ответ: уравнение имеет решения x = −2 и x = 2; √[4]{16} = 2.

Задача 3. Определить, имеет ли смысл в действительных числах √[6]{−64}, и решить уравнение x⁶ = −64. В обеих записях участвуют чётный показатель и отрицательное число, однако отдельно проверим смысл радикала и возможность решений уравнения. Решение уравнения нельзя получить, просто записав знак корня.

1. У шестой степени любого действительного числа значение неотрицательно. Поэтому арифметического корня шестой степени из −64 в действительных числах нет.
2. По той же причине ни одно действительное x не может удовлетворять равенству x⁶ = −64: левая часть неотрицательна, а правая отрицательна.
3. Следовательно, радикал не определён в действительных числах, а уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: √[6]{−64} не имеет действительного значения; решений у уравнения нет.

Типичные ошибки

Иногда считают, что √[n]{a} при чётном n обозначает оба корня уравнения. Так происходит из-за того, что уравнение действительно может иметь два решения, но знак радикала задаёт только неотрицательное значение. Для проверки отдельно запишите все решения уравнения, а затем выберите неотрицательное значение для радикала.

Другая ошибка — записывать √[n]{a} как действительное число при чётном n и a < 0. Она возникает, когда правило для положительных подкоренных чисел переносят на отрицательные без проверки. Возведите предполагаемый корень в чётную степень: результат не может быть отрицательным, значит, действительного значения у такого радикала нет.

Неверно утверждать, что уравнение с чётным показателем всегда имеет два корня. Два противоположных решения возникают при положительном a, но при a = 0 решение только одно, а при a < 0 решений нет. Сверяйте знак правой части со случаями в таблице — это поможет не пропустить особое значение ноль.

Нельзя применять ограничение для чётного показателя к нечётному и запрещать отрицательные подкоренные числа. Путаница появляется потому, что для квадратного корня отрицательное значение недопустимо. Проверка проста: отрицательное число в нечётной степени остаётся отрицательным, например (−2)³ = −8, поэтому корни нечётной степени из отрицательных чисел существуют.

Связь с другими темами

Для работы с корнями нужно уметь возводить числа в натуральную степень, различать чётный и нечётный показатель и решать простейшие уравнения. Эти знания позволяют находить корни и проверять решения подстановкой. Позже понятие корня понадобится для изучения свойств радикалов и преобразования выражений с ними. Корни n-й степени также используются при решении уравнений и введении степеней с рациональными показателями.

Что запомнить

• Корень n-й степени связан с равенством bⁿ = a.
• При нечётном n корень существует для любого действительного подкоренного числа и единственен.
• При чётном n арифметический корень определён только при a ≥ 0.
• При чётном n и a > 0 уравнение xⁿ = a имеет два противоположных корня.
• При чётном n и a = 0 уравнение xⁿ = 0 имеет единственный корень 0.
• Знак √ обозначает арифметический, то есть неотрицательный, корень.