§ 32. Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин

Определения и обозначения

Наибольшее значение функции на отрезке — значение функции, которое не меньше всех остальных значений на этом отрезке. Иными словами, среди всех результатов f(x) для допустимых x выбирают самый большой. Оно показывает верхнюю границу значений функции в заданных условиях. Например, в задаче о прибыли это может быть максимально возможная прибыль.

Наименьшее значение функции на отрезке — значение функции, которое не больше всех остальных значений на этом отрезке. Это самый маленький результат, который функция принимает при допустимых x. Такое значение помогает, например, определить минимальные расходы или кратчайшее расстояние. Наибольшее и наименьшее значения относятся к значениям функции, а не обязательно к значениям аргумента.

Критическая точка функции — внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует. В обозначениях это может быть точка c, для которой f′(c) = 0, либо f′(c) не определена. Такие точки проверяют, потому что внутри отрезка в них может измениться характер поведения функции. Но само название ещё не означает, что в точке есть максимум или минимум.

Точка экстремума — точка, в которой функция достигает локального максимума или локального минимума. Локальный максимум больше значений функции поблизости, а локальный минимум меньше значений рядом. Экстремум описывает поведение функции около точки, тогда как наибольшее и наименьшее значения рассматривают на всём отрезке. Поэтому локальный экстремум не всегда оказывается абсолютным максимумом или минимумом на заданном промежутке.

Как это устроено

Непрерывная функция на отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений. Это свойство гарантирует, что поиск имеет ответ, а не уходит бесконечно вверх или вниз. Чтобы найти этот ответ, достаточно рассмотреть концы отрезка и внутренние точки, где функция может менять поведение. Остальные внутренние точки не могут дать отдельного кандидата: если функция гладкая и достигает там внутреннего максимума или минимума, её график в этой точке обычно имеет горизонтальную касательную.

Производная показывает, как меняется функция: положительная производная соответствует возрастанию, отрицательная — убыванию. Если внутри отрезка гладкая функция достигает экстремума, то непосредственно перед ним и после него её поведение может измениться. В самой точке наклон графика обычно становится нулевым, то есть f′(x) = 0. Однако это только условие для поиска возможных точек: например, функция может продолжать возрастать и при нулевой производной.

Для поиска критических точек решают уравнение f′(x) = 0, а затем оставляют только те корни, которые находятся внутри заданного отрезка. Проверка нужна потому, что точка вне отрезка не участвует в сравнении значений на нём. Кроме того, производная может не существовать в точке области определения, поэтому такие внутренние точки тоже проверяют. Если сама функция в точке не определена, включать её в список нельзя.

Найденные критические точки — лишь кандидаты, поэтому в каждой из них вычисляют именно f(x). К этому списку добавляют значения функции на обоих концах отрезка: производная не обязана обращаться там в ноль. Затем сравнивают все полученные числа; наибольшее из них и есть наибольшее значение, наименьшее — наименьшее. Такой порядок гарантирует, что не будет пропущен случай, когда оптимум достигается на границе.

В прикладной задаче искомую величину сначала выражают через одну переменную. Затем из условий находят допустимые значения переменной: например, длина должна быть положительной, а вырезаемый квадрат — помещаться на листе. Так геометрическая или практическая ситуация превращается в поиск максимума или минимума функции на отрезке. В конце найденное значение переменной переводят обратно на язык задачи, чтобы ответ описывал нужный размер, объём или расход.

Поиск наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: не переходи к сравнению, пока не проверил все внутренние критические точки и оба конца. Если задача прикладная, сначала сформулируй допустимый промежуток и функцию. В самом ответе укажи не только найденное число, но и его смысл.

Разбор задач

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x² − 4x + 1 на отрезке [0; 5]. Поскольку функция задана многочленом, она непрерывна на всём отрезке. Значит, достаточно сравнить значения на концах и во внутренних критических точках. Для этого сначала найдём производную.

1. Вычисляем производную: f′(x) = 2x − 4. Решаем уравнение 2x − 4 = 0 и получаем x = 2. Это число лежит внутри [0; 5], поэтому точку нужно проверить.
2. Находим значения функции в критической точке и на концах: f(2) = 4 − 8 + 1 = −3; f(0) = 1; f(5) = 25 − 20 + 1 = 6. Сравниваем все три результата, а не только значение в точке, где производная равна нулю.
3. Самое маленькое из чисел −3, 1 и 6 равно −3, а самое большое — 6. Следовательно, на отрезке функция принимает минимум −3 и максимум 6.

Ответ: наименьшее значение равно −3, наибольшее — 6. Минимум достигается при x = 2, максимум — при x = 5. Проверка концов показала, что наибольшее значение находится не во внутренней критической точке.

Задача 2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x + 4/x на отрезке [1; 4]. Из-за дроби сначала учитываем область определения: x ≠ 0, и весь отрезок [1; 4] ей принадлежит. Значит, функцию можно исследовать на всём заданном отрезке. Как и прежде, сравним концы и внутренние критические точки.

1. Находим производную: f′(x) = 1 − 4/x². Решение уравнения 1 − 4/x² = 0 даёт x² = 4, то есть x = −2 или x = 2. В отрезок [1; 4] попадает только x = 2.
2. Вычисляем значения: f(1) = 5, f(2) = 4, f(4) = 5. Корень −2 не включаем в сравнение, так как он находится вне отрезка.
3. Наименьшее значение среди 5, 4 и 5 равно 4, наибольшее равно 5. Максимум функция достигает на обоих концах отрезка.

Ответ: наименьшее значение равно 4, наибольшее — 5. Этот пример показывает, почему нельзя оставлять все корни уравнения производной без проверки их положения относительно заданного промежутка.

Задача 3

Из прямоугольного листа картона размером 20 × 30 см вырезают по углам одинаковые квадраты и загибают края, получая открытую коробку. Нужно найти размер квадратов, при котором объём будет наибольшим. Обозначим сторону вырезаемого квадрата через x сантиметров. Тогда высота коробки равна x, а стороны её основания — 20 − 2x и 30 − 2x.

1. Записываем объём: V(x) = x(20 − 2x)(30 − 2x). Чтобы длины сторон были неотрицательны, нужно 0 ≤ x ≤ 10; при концах объём равен нулю. На этом отрезке ищем возможный максимум.
2. Раскрываем скобки: V(x) = 600x − 100x² + 4x³. Тогда V′(x) = 600 − 200x + 12x². Решаем 12x² − 200x + 600 = 0: получаем x = (25 ± 5√7)/3. Из двух корней отрезку [0; 10] принадлежит только x = (25 − 5√7)/3.
3. На концах отрезка объём равен нулю, а внутри при допустимом x он положителен. Поэтому внутренний кандидат даёт наибольший объём; второй корень не подходит, поскольку больше 10. Сторона вырезаемого квадрата составляет примерно 3,92 см.

Ответ: нужно вырезать квадраты со стороной (25 − 5√7)/3 см, приблизительно 3,92 см. Так как основание коробки имеет стороны 20 − 2x и 30 − 2x, результат описывает не только переменную в формуле, но и размер вырезаемых частей картона.

Типичные ошибки

Если проверять только точки, где f′(x) = 0, можно пропустить максимум или минимум на конце отрезка. Так происходит, когда правило о нулевой производной принимают за полный алгоритм. Для самопроверки выпиши в отдельный список оба конца до начала вычислений и убедись, что посчитал f(x) в каждом из них.

Корень уравнения f′(x) = 0 за пределами заданного промежутка не участвует в поиске значений на этом отрезке. Его иногда оставляют в списке просто потому, что он найден при решении уравнения. Подставь каждый корень в условие принадлежности промежутку: например, для [1; 4] подойдёт только число от 1 до 4 включительно.

Критическая точка не обязательно является точкой максимума или минимума. Ошибка возникает, когда критическую точку воспринимают как готовый ответ, хотя она лишь указывает место для проверки. Вычисли функцию во всех кандидатах и на концах, затем сравни полученные значения; только так можно выбрать абсолютные максимум и минимум.

В прикладной задаче нельзя выбирать переменную без учёта ограничений и оставлять ответ только в виде её значения. Например, длина вырезаемого квадрата не может быть отрицательной или нарушать размеры листа. Запиши допустимый промежуток из условий, а в конце поясни, что найденное число означает в реальной ситуации: размер квадрата, длину стороны коробки или другую искомую величину.

Связь с другими темами

Для работы с производной нужно уметь находить её, решать уравнения f′(x) = 0 и определять область определения функции. Понимание возрастания и убывания объясняет, почему внутренний экстремум гладкой функции может находиться там, где производная меняет знак или обращается в ноль. Признаки экстремума помогают разбирать поведение функции, а сравнение значений на отрезке позволяет выбрать глобальный максимум или минимум. Те же методы оптимизации применяют к задачам о наибольшей производительности, минимальных затратах и оптимальных геометрических размерах.

Что запомнить

• На отрезке проверяют концы и все внутренние критические точки.
• Критическая точка — возможный кандидат на экстремум, но не гарантия экстремума.
• Корни уравнения f′(x) = 0 проверяют на принадлежность отрезку.
• Для сравнения вычисляют значения самой функции, а не её производной.
• В прикладной задаче сначала задают функцию и допустимые значения переменной.
• Ответ оптимизационной задачи формулируют с учётом исходного условия.