"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
График функции показывает, какое значение y соответствует каждой допустимой абсциссе x. Зная графики основных функций, можно строить новые, не вычисляя множество точек заново: достаточно переносить, растягивать, сжимать или отражать исходный график. При этом формула подсказывает, как меняются координаты точек. Эти преобразования помогают быстро находить область определения, характерные точки и другие свойства функции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
График функции y = f(x) — множество точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)). Каждому допустимому значению x, то есть абсциссе, соответствует ровно одно значение f(x), которое называют ординатой точки. Например, если f(2) = 5, точка (2; 5) принадлежит графику. По графику можно видеть значения функции и её поведение.
Параллельный перенос — изменение положения графика без изменения его формы. В формуле y = f(x) + b меняется ордината, а в y = f(x − a) — абсцисса точки. Так, добавление числа снаружи функции перемещает график вверх или вниз, а изменение аргумента — вправо или влево. Это позволяет получить новый график, не строя его заново по таблице значений.
Растяжение или сжатие графика — изменение расстояний между его точками и осями в одном из направлений. Множитель перед функцией, например k в y = kf(x), изменяет ординаты; множитель в аргументе изменяет абсциссы. Поэтому первый влияет на вертикальный масштаб, а второй — на горизонтальный. Различать их полезно, чтобы правильно предсказать форму нового графика.
Отражение графика — построение симметричного ему графика относительно одной из координатных осей. Замена f(x) на −f(x) меняет знак каждой ординаты и даёт отражение относительно оси Ox. Замена x на −x меняет знак каждой абсциссы и отражает график относительно оси Oy. Это помогает учитывать знак в формуле и правильно располагать части графика.
В формуле y = f(x) + b к каждому значению функции прибавляется одно и то же число b. Поэтому абсцисса любой точки остаётся прежней, а ордината становится на b больше или меньше. Если b > 0, точки поднимаются на b единиц; если b < 0, они опускаются на |b| единиц. Поскольку все точки перемещаются одинаково, форма графика не меняется.
В выражении y = f(x − a) новая функция принимает в точке x значение исходной функции при аргументе x − a. Чтобы получить прежнее значение f(x₀), нужно взять x − a = x₀, откуда x = x₀ + a. Значит, каждой исходной точке соответствует точка с той же ординатой и абсциссой, увеличенной на a. При a > 0 график идёт вправо, а при a < 0 — влево.
Множитель k в формуле y = kf(x) умножает все ординаты на k, но не меняет абсциссы. Когда |k| > 1, расстояния точек от оси Ox увеличиваются, поэтому график растягивается вертикально; при 0 < |k| < 1 эти расстояния уменьшаются и график сжимается. Если k отрицательно, ординаты дополнительно меняют знак. Поэтому отражение относительно Ox происходит одновременно с растяжением или сжатием.
В формуле y = f(x/k), где k > 0, исходное значение функции появляется при абсциссе, увеличенной в k раз: чтобы аргумент x/k стал равен x₀, нужно x = kx₀. Ордината остаётся прежней, а абсцисса изменяется. При k > 1 точки удаляются от оси Oy, и график растягивается по горизонтали; при 0 < k < 1 абсциссы уменьшаются и график сжимается. Здесь важно следить за аргументом, а не за положением дробной черты на глаз.
Для построения сначала выбирают знакомый график y = f(x), например параболу, синусоиду или гиперболу. Затем по формуле определяют, какие координаты меняются, и применяют преобразования по очереди. В конце проверяют результат по характерным точкам, например вершине параболы или нулю синуса. Отдельно проверяют область определения: при горизонтальном преобразовании допустимые абсциссы могут измениться.
| Функция | Изменение координат точки (x; y) | Преобразование графика |
|---|---|---|
| y = f(x) + b | (x; y) → (x; y + b) | Перенос на b единиц по вертикали |
| y = f(x − a) | (x; y) → (x + a; y) | Перенос на a единиц по горизонтали |
| y = kf(x) | (x; y) → (x; ky) | Растяжение или сжатие по вертикали; при k < 0 — отражение относительно Ox |
| y = f(x/k), k > 0 | (x; y) → (kx; y) | Растяжение или сжатие по горизонтали |
| y = −f(x) | (x; y) → (x; −y) | Отражение относительно Ox |
| y = f(−x) | (x; y) → (−x; y) | Отражение относительно Oy |
В таблице записано, во что превращается произвольная точка исходного графика. Сначала определите, какая координата меняется, затем примените правило к нескольким характерным точкам. Для составной формулы удобно выполнять преобразования по очереди и после каждого шага проверять положение точек.
Исходный график y = x² — парабола с вершиной (0; 0), ветви направлены вверх. Выражение x − 2 стоит внутри аргумента, поэтому сначала нужно выполнить горизонтальный перенос. По правилу y = f(x − a) при a = 2 график сдвигается вправо на 2 единицы.
После переноса вершина оказывается в точке (2; 0), а форма параболы сохраняется. Затем прибавление 1 снаружи функции поднимает каждую точку на одну единицу. Поэтому вершина становится точкой (2; 1), а ветви по-прежнему направлены вверх.
Для проверки возьмём точки на одинаковом расстоянии от вершины: при x = 1 и x = 3 получаем y = 2. Они симметричны относительно прямой x = 2, как и должно быть у параболы с такой вершиной. Так можно проверить перенос без построения большого числа точек.
Ответ: парабола y = x², перенесённая на 2 единицы вправо и на 1 вверх; её вершина — (2; 1), ветви направлены вверх.
Начинаем с графика y = sin x: его период равен 2π, амплитуда равна 1. В аргументе стоит x + π/3, то есть x − (−π/3). Значит, синусоида сначала сдвигается влево на π/3, и её период не меняется.
Множитель 2 увеличивает каждую ординату по модулю вдвое, поэтому амплитуда становится равной 2. Знак минус перед функцией меняет знаки ординат и отражает график относительно Ox. Эти два действия можно объединить: после растяжения все точки оказываются по другую сторону оси.
Характерные точки исходного синуса: нули x = 0, π, 2π; максимум при x = π/2, минимум при x = 3π/2. После переноса их абсциссы уменьшаются на π/3, а после отражения максимум и минимум меняются местами. Например, максимум новой функции равен 2 и достигается при x = −5π/6, а минимум −2 — при x = π/6.
Ответ: амплитуда равна 2, период равен 2π; график сдвинут влево на π/3, растянут по вертикали в 2 раза и отражён относительно Ox.
Исходный график y = 1/x — гипербола, не определённая при x = 0. У неё вертикальная асимптота x = 0 и горизонтальная асимптота y = 0. Асимптота — прямая, к которой график неограниченно приближается.
Замена x на x − 1 сдвигает график вправо на 1, поэтому вертикальная асимптота становится x = 1. Добавление 2 снаружи функции поднимает график и горизонтальную асимптоту на 2 единицы. Получаем горизонтальную асимптоту y = 2.
Знаменатель x − 1 не должен равняться нулю, поэтому x ≠ 1. Все остальные действительные значения допустимы, и область определения — все числа, кроме 1. Для проверки можно взять точку (2; 1) исходной гиперболы: после переносов она окажется в (3; 3), и действительно 1/(3 − 1) + 2 = 2,5 — значит, эту точку для проверки брать нельзя; правильная исходная точка (1; 1) не принадлежит y = 1/x, поэтому проверим (2; ½), которая перейдёт в (3; 2,5).
Ответ: область определения — x ≠ 1; асимптоты — x = 1 и y = 2. График получен переносом y = 1/x на 1 вправо и на 2 вверх.
Ошибка: считать, что y = f(x − a) при a > 0 сдвигает график влево. Её допускают, ориентируясь только на знак минус в скобках, а не на изменение координаты. Проверьте точку: чтобы аргумент стал прежним x₀, новая абсцисса должна быть x₀ + a, значит, перенос направлен вправо.
Ошибка: путать вертикальное и горизонтальное растяжение. Множитель перед f(x) меняет ординаты, а изменение аргумента — абсциссы, но в сложной формуле эти воздействия легко смешать. Для проверки запишите координаты произвольной точки после преобразования. Если меняется только y, масштаб вертикальный; если x — горизонтальный.
Ошибка: при k < 0 в y = kf(x) учитывать только растяжение или сжатие. Причина в том, что внимание сосредоточено на модуле множителя, хотя его знак тоже важен. Отрицательный множитель меняет знак всех ординат, поэтому график отражается относительно Ox; проверьте, куда перешла точка выше оси.
Ошибка: переносить график и забывать проверить область определения. После сдвига могут переместиться исключённые значения x, точки разрыва и вертикальные асимптоты. Сначала найдите ограничения исходной формулы, затем примените горизонтальное преобразование к соответствующим абсциссам. Например, при сдвиге y = 1/x на 1 вправо исключённым становится x = 1.
Для преобразований нужны координаты точек и знакомые графики основных функций, например y = x², y = sin x и y = 1/x. Освоив переносы, растяжения и отражения, можно быстрее строить графики сложных функций и исследовать их свойства. Это также помогает решать уравнения и неравенства графически: корни и решения читают по пересечениям графиков. После каждого преобразования нужно учитывать область определения и множество значений функции.
Почему график y = f(x − 3) сдвигается вправо, а не влево?
Чтобы получить прежнее значение f(x), аргумент новой функции должен быть равен прежней абсциссе: x − 3 = x₀. Значит, новая точка имеет абсциссу x₀ + 3, то есть график сдвигается вправо.
Как понять, растягивается график или сжимается?
Смотрите, где стоит множитель. В y = kf(x) он умножает ординаты: при |k| > 1 график растягивается по вертикали, а при 0 < |k| < 1 сжимается. В y = f(x/k), k > 0, множитель k меняет абсциссы: при k > 1 происходит горизонтальное растяжение, при 0 < k < 1 — сжатие.
Что происходит с графиком, если перед функцией стоит минус?
В выражении y = −f(x) каждая ордината меняет знак, а абсцисса остаётся прежней. Поэтому график отражается относительно оси Ox.
Нужно ли менять область определения после переноса графика?
Да, после горизонтального переноса область определения смещается вместе с графиком. При вертикальном переносе допустимые абсциссы не меняются. Учитывайте также, что точки разрыва и вертикальные асимптоты перемещаются вместе с графиком.
Можно ли выполнять преобразования графика в любом порядке?
Не всегда: порядок влияет на результат, особенно если в формуле одновременно есть переносы и растяжения. Выполняйте преобразования так, чтобы на каждом шаге было ясно, какие координаты меняются; затем проверьте итог по характерным точкам и области определения.
§ 31. Построение графиков функций
