"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
График функции наглядно показывает, как каждому допустимому значению аргумента соответствует значение функции. Его строят по таблице точек или получают из известного графика с помощью сдвигов, симметрии и изменения масштаба. Эти приёмы помогают быстро изображать сложные функции, находить их свойства и решать уравнения и неравенства графически. Главное — следить, как меняются координаты точек, и не забывать об области определения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), показывающее зависимость значения функции от аргумента. Каждая абсцисса x задаёт допустимое значение аргумента, а ордината f(x) показывает соответствующее значение функции. Поэтому график позволяет увидеть поведение функции целиком, а не только вычислить отдельные значения. По нему можно, например, оценить, где функция возрастает и где пересекает оси.
Преобразование графика — изменение положения, масштаба или направления графика исходной функции по заданному правилу. Исходный график уже известен, поэтому вместо построения с нуля достаточно понять, куда переместится каждая его точка. Это особенно удобно для функций, связанных с простыми графиками, например y = x² или y = √x. Правило преобразования помогает быстро получить новый эскиз.
Сдвиг графика — перенос всех его точек вдоль оси Ox или Oy без изменения формы. При таком переносе меняются координаты точек, но взаимное расположение частей графика сохраняется. Например, сдвиг вверх увеличивает ординату каждой точки на одно и то же число. Понятие сдвига нужно, чтобы строить функции с прибавленным числом или изменённым аргументом.
Растяжение и сжатие графика — изменение расстояний между точками графика относительно одной из координатных осей. При вертикальном изменении умножаются ординаты, а при горизонтальном — меняются абсциссы. Из-за этого график становится выше, ниже, уже или шире, но не обязательно меняет свою общую форму. Различать эти изменения важно, поскольку множитель снаружи и внутри функции действует на разные координаты.
Чтобы точка принадлежала графику, её координаты должны удовлетворять равенству y = f(x). Это значит, что для выбранного x ордината не произвольна: она обязана равняться значению функции. Если вычислить f(x) для нескольких допустимых x, получим точки, которые можно отметить на координатной плоскости. Таблица значений помогает выбрать такие точки, чтобы увидеть форму графика и провести его эскиз; для непрерывной функции важно соединять их плавно, а не ломаной без причины.
В формуле y = f(x) + b к каждому прежнему значению функции прибавляется b, значит, ордината каждой точки меняется на b, а абсцисса остаётся прежней. При b > 0 график сдвигается вверх, при b < 0 — вниз. В выражении f(x − a) новое значение совпадает со старым значением в точке с абсциссой x − a. Чтобы получить прежнюю точку с абсциссой t, нужно взять x = t + a, поэтому график сдвигается вправо на a при a > 0.
Множитель перед функцией действует на её значения: в y = kf(x) точка (x; y) переходит в (x; ky). Поэтому при |k| > 1 расстояния от точек до Ox увеличиваются, а при 0 < |k| < 1 уменьшаются. В формуле y = f(kx) меняется аргумент, поэтому прежнему значению f(t) соответствует новая абсцисса x = t/k. Значит, координаты по горизонтали меняются в обратном отношении к множителю: при |k| > 1 график сжимается к Oy, а при 0 < |k| < 1 растягивается.
В формуле y = −f(x) каждой точке (x; y) соответствует (x; −y): меняется знак ординаты, а абсцисса сохраняется. Такая замена отражает график относительно оси Ox. В формуле y = f(−x) меняется знак аргумента, поэтому точка (x; y) переходит в (−x; y) и график отражается относительно Oy. Различие видно по координате, которая меняет знак: это помогает не путать два вида симметрии.
Если в формуле несколько действий, удобно применять их к исходному графику последовательно и после каждого шага отслеживать характерные точки. Область определения тоже меняется: аргумент исходной функции должен оставаться допустимым после сдвига или замены x. Например, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В конце проверьте вершины, пересечения с осями и направление ветвей; если исходная функция задана только на части оси, преобразованный график не должен появляться за её пределами.
| Преобразование | Формула новой функции | Изменение графика | Изменение координат точки (x; y) |
|---|---|---|---|
| Сдвиг вверх или вниз | y = f(x) + b | Вверх при b > 0, вниз при b < 0 | (x; y) → (x; y + b) |
| Сдвиг вправо или влево | y = f(x − a) | Вправо при a > 0, влево при a < 0 | (x; y) → (x + a; y) |
| Симметрия относительно оси Ox | y = −f(x) | Отражение относительно Ox | (x; y) → (x; −y) |
| Симметрия относительно оси Oy | y = f(−x) | Отражение относительно Oy | (x; y) → (−x; y) |
| Растяжение или сжатие по вертикали | y = kf(x) | Растяжение при |k| > 1, сжатие при 0 < |k| < 1 | (x; y) → (x; ky) |
| Растяжение или сжатие по горизонтали | y = f(kx) | Сжатие при |k| > 1, растяжение при 0 < |k| < 1 | (x; y) → (x/k; y) |
Сначала определите, меняется ли значение функции снаружи или аргумент внутри f: так станет ясно, какие координаты преобразуются. Затем примените правило к нескольким характерным точкам и проверьте, остались ли они в области определения. Если множитель отрицателен, учитывайте также отражение относительно соответствующей оси.
Задача 1. Построить график функции y = 2x − 3. Это линейная функция, поэтому её график — прямая. Для построения достаточно найти две точки, но третья поможет проверить вычисления. Угловой коэффициент 2 показывает, что при увеличении x на 1 значение y увеличивается на 2.
Ответ: прямая через точки (0; −3), (1; −1), (2; 1). Она возрастает, потому что её угловой коэффициент положителен.
Задача 2. Построить график функции y = |x − 2| + 1. Начнём с известного графика y = |x|, у которого вершина находится в начале координат. Замена x на x − 2 переносит его вправо на 2, а прибавление 1 поднимает на единицу. Поэтому можно перенести вершину и несколько других точек, не вычисляя значения заново.
Ответ: V-образный график с вершиной (2; 1) и осью симметрии x = 2.
Задача 3. Построить график y = −2√(x + 1) + 3 и найти область значений. Исходный график y = √x начинается в точке (0; 0) и определён при x ≥ 0. Подкоренное выражение x + 1 сдвигает его влево, множитель −2 отражает и растягивает по вертикали, а +3 поднимает. Отрицательные значения корня после отражения становятся неотрицательными при прибавлении 3, поэтому график идёт от своей начальной точки вниз.
Ответ: область значений — y ≤ 3, или (−∞; 3].
При y = f(x − a) график иногда сдвигают влево, ориентируясь на знак минус внутри скобок. Но нужно следить за прежним значением аргумента: точке с абсциссой t соответствует новая абсцисса t + a. Для проверки возьмите вершину или другую заметную точку и убедитесь, что при a > 0 она переместилась вправо.
Формулы y = kf(x) и y = f(kx) могут ошибочно считать одинаковыми. В первой меняются ординаты, во второй — абсциссы; путаница возникает из-за одного и того же множителя k. Проверьте координаты одной характерной точки: в первом случае x сохраняется, во втором сохраняется y.
Преобразованный график порой продолжают за пределы области определения исходной функции. Это происходит, если смотреть только на сдвиг или форму и забыть о допустимых значениях аргумента. Подставьте x в исходное выражение или решите условие его существования, например x + 1 ≥ 0 для квадратного корня.
Отмеченные точки соединяют прямой или ломаной, не проверяя форму графика. Такая линия может нарушить симметрию, монотонность или положение вершины; у некоторых функций есть также асимптоты, к которым график лишь приближается. До соединения точек проверьте известные свойства и добавьте характерные точки, а затем сравните эскиз с ними.
Для построения графиков нужны координатная плоскость, область определения, таблица значений и знакомые графики элементарных функций. Эти знания позволяют выбрать исходную функцию и понять, какие точки допустимо изображать. Графический метод затем помогает решать уравнения и неравенства: решения находят по точкам пересечения графиков или участкам, где один график расположен выше другого. При изучении свойств функций и производной график помогает увидеть и проверить результаты исследования, включая промежутки возрастания и убывания.
Как это устроено
Почему в формуле f(x - 2) график сдвигается вправо, а не влево?
Чтобы получить прежнее значение f(t), нужно взять x − 2 = t, то есть x = t + 2. Поэтому каждой прежней точке соответствует точка с абсциссой на 2 больше: график сдвигается вправо.
Как понять, какое преобразование выполнено первым?
Удобно сначала выделить исходную функцию и рассматривать остальные действия над ней по порядку. Для сдвигов, отражений и масштабирования следите, меняется ли аргумент внутри f или значение функции снаружи; при сомнении проверьте преобразование на одной характерной точке.
Чем отличаются графики y = 2f(x) и y = f(2x)?
В y = 2f(x) удваиваются значения функции, поэтому ординаты точек умножаются на 2. В y = f(2x) удваивается аргумент внутри функции, а абсциссы прежних точек делятся на 2: график сжимается по горизонтали.
Нужно ли каждый раз составлять таблицу значений?
Нет: если график получается из знакомой функции простыми преобразованиями, достаточно преобразовать её характерные точки. Таблица полезна, когда исходный график неизвестен или нужно проверить эскиз.
Как по графику определить область определения и множество значений?
Область определения — все значения x, для которых на графике есть точки; её удобно представить как проекцию графика на ось Ox. Множество значений — все значения y, встречающиеся на графике, то есть его проекция на ось Oy.
5.4. Построение графиков функций
