"Алгебра и начала математического анализа", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
График функции наглядно показывает, как каждому значению аргумента x соответствует значение y = f(x). Зная графики основных функций, можно строить новые, не вычисляя множество точек: достаточно перенести исходную кривую, изменить её масштаб или отразить относительно оси. Главное — проследить, как преобразование меняет координаты каждой точки, и проверить характерные элементы: область определения, нули, вершины и асимптоты. Это помогает исследовать функции и решать уравнения графически.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), показывающее зависимость значения функции от аргумента. Каждой допустимой координате x соответствует точка с высотой f(x). По графику можно увидеть, например, где функция возрастает и где пересекает оси.
Преобразование графика — изменение положения или формы исходного графика по заданному правилу. Например, можно передвинуть кривую или изменить расстояния между её точками. Это нужно, чтобы строить графики новых функций на основе уже известных.
Параллельный перенос графика — сдвиг всех его точек на одинаковое расстояние вправо, влево, вверх или вниз. Форма и размеры кривой при этом не меняются. Такой перенос используют, когда к аргументу или значению функции прибавляют число.
Растяжение и сжатие графика — изменение расстояний точек от координатной оси при умножении аргумента или значения функции на число. Если меняются значения функции, меняется расстояние по вертикали; если аргументы — по горизонтали. Это позволяет менять масштаб графика, сохраняя его основные особенности.
В формуле y = f(x) + b к каждому значению функции прибавляют одно и то же число b. Поэтому каждая точка (x; f(x)) превращается в точку (x; f(x) + b): абсцисса остаётся прежней, а ордината меняется на b. При b > 0 график поднимается, а при b < 0 опускается; направление задаёт знак добавленного числа.
В формуле y = f(x − a) изменяется аргумент, поэтому, чтобы получить прежнее значение f(x₀), нужно взять x − a = x₀. Отсюда новая абсцисса равна x₀ + a: при a > 0 точка перемещается вправо. Знак внутри скобок кажется противоположным направлению сдвига именно потому, что нужно найти x, при котором аргумент функции станет прежним.
В y = kf(x) умножается значение функции, а значит, точка (x; y) переходит в (x; ky). При |k| > 1 расстояние ординаты от оси x увеличивается, и график растягивается по вертикали; при 0 < |k| < 1 оно уменьшается, и получается сжатие. Если k отрицательно, меняется ещё и знак ординаты, поэтому график отражается относительно оси x.
В формуле y = f(kx) прежнее значение f(x₀) появляется, когда kx = x₀, то есть при x = x₀/k. Поэтому абсциссы точек умножаются на 1/k, а масштаб по горизонтали меняется в 1/|k| раз. Например, при |k| > 1 график сжимается к оси y, а при 0 < |k| < 1 растягивается от неё; отрицательный k дополнительно отражает его относительно оси y.
Для отражения относительно оси x заменяют y на −y, а для отражения относительно оси y — аргумент x на −x. В первом случае точка (x; y) становится (x; −y), во втором — (−x; y). График y = |f(x)| строят иначе: отрицательные значения функции меняют на противоположные, поэтому части ниже оси x отражаются вверх, а части выше неё остаются на месте.
| Преобразование | Формула нового графика | Изменение исходного графика | Что происходит с точками |
|---|---|---|---|
| Перенос вверх или вниз | y = f(x) + b | Вверх при b > 0, вниз при b < 0 | (x; y) → (x; y + b) |
| Перенос вправо или влево | y = f(x − a) | Вправо при a > 0, влево при a < 0 | (x; y) → (x + a; y) |
| Растяжение или сжатие по оси y | y = kf(x) | Растяжение при |k| > 1, сжатие при 0 < |k| < 1 | (x; y) → (x; ky) |
| Растяжение или сжатие по оси x | y = f(kx) | Масштаб по горизонтали меняется в 1/|k| раз | (x; y) → (x/k; y) |
| Симметрия относительно оси x | y = −f(x) | Отражение относительно оси x | (x; y) → (x; −y) |
| Симметрия относительно оси y | y = f(−x) | Отражение относительно оси y | (x; y) → (−x; y) |
| Построение графика y = |f(x)| | y = |f(x)| | Части ниже оси x отражаются вверх | (x; y) → (x; |y|) |
Чтобы воспользоваться таблицей, сначала найдите формулу, которая связывает новую функцию с известной, а затем примените указанное правило к точкам. При нескольких действиях отмечайте, как изменяются характерные точки на каждом шаге. Для коэффициентов со знаком минус дополнительно учитывайте отражение.
Задача 1. Построить график функции y = (x − 2)² + 1, используя график y = x². Основная парабола имеет вершину (0; 0), и новые слагаемые задают её положение. Сначала проследим за изменением аргумента, затем за изменением значения функции.
Ответ: парабола направлена вверх, её вершина — (2; 1), ось симметрии — x = 2. Она получается сдвигом графика y = x² на 2 вправо и на 1 вверх.
Задача 2. Построить график функции y = |2x − 4| и указать её нули и вершину. Сначала представим выражение внутри модуля через аргумент исходной функции y = |x|. Так проще увидеть горизонтальное преобразование и сдвиг, а затем учесть правило модуля.
Ответ: график имеет вершину (2; 0), нуль x = 2. Он получается из y = |x| сдвигом вправо на 2 и растяжением по вертикали в 2 раза.
Задача 3. Построить график функции y = 1/(x − 1) + 2, указать область определения и асимптоты. Исходный график y = 1/x — гипербола, у которой x = 0 и y = 0 являются асимптотами. По формуле можно определить, куда перейдут её ветви и асимптоты.
Ответ: область определения — x ≠ 1; асимптоты — x = 1 и y = 2. График получается из y = 1/x сдвигом вправо на 1 и вверх на 2.
При формуле y = f(x − a) график иногда сдвигают влево, ориентируясь на знак минус в скобках. Ошибка возникает, если не проверить, при каком x аргумент принимает прежнее значение: из x − a = x₀ следует x = x₀ + a. Для самопроверки отметьте исходную характерную точку и вычислите её новую абсциссу.
Множитель при аргументе часто принимают за коэффициент растяжения по горизонтали. Но в y = f(kx) новая абсцисса равна x/k, поэтому масштаб составляет 1/|k|, а не |k|. Проверьте это на точке: при k = 2 исходная абсцисса 4 перейдёт в 2, значит, график сжимается.
При построении y = |f(x)| иногда отражают всю исходную кривую относительно оси x. Так делать нельзя: участки с положительными значениями уже совпадают с результатом и должны остаться на месте. Проверьте знак f(x) на каждом участке: вверх отражаются только части, где f(x) < 0.
После преобразований могут забыть проверить область определения, нули, вершины или асимптоты. Тогда даже правильно перенесённая по виду кривая может оказаться расположена неверно или включать запрещённые точки. Сверьте характерные элементы с формулой: например, знаменатель не должен обращаться в нуль, а вершина параболы должна соответствовать её выражению.
Для построений нужны координатная плоскость, понятие функции, её область определения и область значений. Полезно знать формы графиков линейной функции, параболы, гиперболы и тригонометрических функций: именно они часто служат исходными. Преобразование графиков помогает исследовать функции, а также решать уравнения и неравенства графическим способом. В этих задачах пересечения графиков показывают решения, а их взаимное положение позволяет сравнивать значения функций.
Почему в формуле f(x - a) график сдвигается вправо, а не влево?
Точка исходного графика с абсциссой x₀ имеет значение f(x₀). В новом графике это же значение получается при x − a = x₀, то есть при x = x₀ + a. Поэтому каждая точка перемещается вправо на a единиц.
Как быстро понять, какое преобразование выполнено первым?
Удобно сначала выделить исходную функцию и переписать выражение в виде y = A·f(B(x − a)) + b, если это возможно. Тогда сдвиги и изменения масштаба читаются из этой формы, но при нескольких преобразованиях проверяйте координаты точек: порядок действий может влиять на результат.
Чем отличается растяжение графика по оси x от растяжения по оси y?
При изменении y = f(x) на y = A·f(x) умножаются значения функции, поэтому меняются ординаты точек. При y = f(Bx) меняются аргументы: абсциссы точек становятся в 1/|B| раз больше или меньше.
Как строить график функции с модулем?
Для y = |f(x)| оставьте без изменений участки исходного графика, расположенные выше оси x. Участки ниже оси отразите симметрично вверх; точки пересечения с осью x останутся на месте.
Можно ли построить сложный график без таблицы значений?
Да, если известен график исходной функции и понятны правила преобразований. Перенесите или преобразуйте характерные точки и асимптоты, а затем проверьте область определения и несколько значений, чтобы убедиться в правильности построения.
§ 5. Построение графиков функций
