§ 4. Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба

Определения и обозначения

Производная второго порядка — это производная от первой производной функции. Если y = f(x), то её обозначают f''(x) или y'', причём f''(x) = (f'(x))'. Она нужна, чтобы изучать не только изменение функции, но и изменение её наклона.

Выпуклость функции на промежутке — свойство графика, описывающее направление его изгиба. В принятой в учебнике терминологии при f''(x) > 0 график выпуклый вниз, а при f''(x) < 0 — выпуклый вверх. Это позволяет по знаку второй производной судить о форме графика.

Точка перегиба — точка графика, при переходе через которую функция меняет направление выпуклости. Слева и справа от её абсциссы график изгибается по-разному. Поэтому перегиб находят не только вычислением второй производной, но и проверкой поведения по обе стороны точки.

Критическая точка для исследования выпуклости — внутренняя точка области определения, в которой вторая производная равна нулю или не существует. Такие точки являются кандидатами на границы промежутков выпуклости и возможные точки перегиба. После их нахождения обязательно проверяют знак f'' на соседних промежутках.

Как это устроено

Вторая производная получается повторным дифференцированием: сначала находят f'(x), затем дифференцируют полученное выражение ещё раз. Первая производная задаёт наклон касательной, поэтому производная от неё показывает, как этот наклон меняется при движении по графику. Именно поэтому f'' называют скоростью изменения наклона касательной.

Если f''(x) положительна, значения f'(x) увеличиваются при возрастании x: касательные постепенно становятся более крутыми. В принятой школьной терминологии график в этом случае выпуклый вниз. При отрицательной второй производной f'(x) убывает, наклон уменьшается, и график выпуклый вверх.

Чтобы исследовать выпуклость, сначала находят нули второй производной и точки, где она не существует. Эти значения разбивают область определения на промежутки, внутри которых f'' обычно сохраняет знак, потому что непрерывная функция не может поменять знак без прохождения через нуль. На каждом промежутке выбирают контрольную точку и вычисляют знак f''.

Нулевая вторая производная сама по себе не гарантирует перегиба: например, у функции f(x) = x⁴ в точке x = 0 она равна нулю, но знак f'' по обе стороны остаётся положительным. Поэтому у каждого кандидата сравнивают выпуклость слева и справа. Если направления различаются, находят ординату подстановкой абсциссы в исходную функцию.

Знак второй производной и характер графика

Сначала по таблице определяют знак второй производной на каждом промежутке, а затем переводят его в описание графика. На границе промежутков сравнивают результаты слева и справа. Одного нуля f'' недостаточно: решающим признаком служит смена направления выпуклости.

Разбор задач

1. Функция f(x) = x³

Нужно определить выпуклость на всей числовой прямой и найти точку перегиба. Область определения функции — все действительные числа, поэтому дополнительных ограничений нет.

1. Находим производные: f'(x) = 3x², f''(x) = 6x.
2. Вторая производная обращается в нуль при x = 0. Для x < 0 она отрицательна, а для x > 0 положительна.
3. Значит, слева график выпуклый вверх, а справа — выпуклый вниз. Направление выпуклости меняется, поэтому x = 0 даёт точку перегиба.
4. Вычисляем ординату: f(0) = 0.

Ответ: функция выпукла вверх на (−∞; 0), выпукла вниз на (0; +∞); точка перегиба — (0; 0).

2. Функция f(x) = x⁴ − 2x²

Здесь нужно разбить числовую прямую всеми нулями второй производной. Функция определена на всей прямой, поэтому исследуем только знак полученного выражения.

1. Вычисляем: f'(x) = 4x³ − 4x, f''(x) = 12x² − 4 = 4(3x² − 1).
2. Решаем f''(x) = 0: x = −1/√3 и x = 1/√3. Промежутки: (−∞; −1/√3), (−1/√3; 1/√3), (1/√3; +∞).
3. Знак f'' положителен на внешних промежутках и отрицателен на среднем. Поэтому график выпуклый вниз снаружи и выпуклый вверх внутри.
4. Знак меняется в обеих найденных точках. Подстановка даёт f(±1/√3) = 1/9 − 2/3 = −5/9.

Ответ: точки перегиба: (−1/√3; −5/9) и (1/√3; −5/9).

3. Функция f(x) = ln(x² + 1)

Сначала учитываем область определения: x² + 1 всегда положительно, значит, функция определена при всех x. Затем аккуратно применяем правило дифференцирования сложной функции.

1. Получаем f'(x) = 2x/(x² + 1), а после повторного дифференцирования f''(x) = 2(1 − x²)/(x² + 1)².
2. Знаменатель положителен при всех x, поэтому знак f'' определяется числителем 1 − x². Нули: x = −1 и x = 1.
3. На промежутке (−1; 1) вторая производная положительна, а вне его отрицательна. Следовательно, график выпуклый вверх на (−∞; −1) и (1; +∞), выпуклый вниз на (−1; 1).
4. Знак меняется в обеих точках, а f(−1) = f(1) = ln 2.

Ответ: точки перегиба — (−1; ln 2) и (1; ln 2); выпуклость вверх на (−∞; −1) и (1; +∞), вниз на (−1; 1).

Типичные ошибки

Считать любую точку, где f''(x) = 0, точкой перегиба — ошибка, потому что знак второй производной может не измениться. Проверяйте два соседних промежутка и сравнивайте направление выпуклости.

Путать знак второй производной с видом выпуклости легко из-за словесных обозначений «вверх» и «вниз». Связывайте знак с поведением касательных: при f'' > 0 их наклон возрастает, а график выпуклый вниз.

Неучёт точек, где f'' не существует, приводит к пропуску возможных границ промежутков. Сначала проверяйте область определения и отмечайте все внутренние точки, в которых формула второй производной не имеет смысла.

Нельзя определять знак f'' только в одной точке или сразу на всей области. Разбейте ось всеми кандидатами и проверьте знак отдельно на каждом получившемся промежутке.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны правила дифференцирования, умение находить первую и вторую производные, а также исследовать знак выражения. Выпуклость и точки перегиба дополняют исследование функций и помогают точнее строить графики. В механике вторая производная координаты связана с ускорением, а в дальнейшем используется при изучении локальных приближений функций.

Что запомнить

• Вторая производная — производная от первой производной.
• Знак f'' характеризует изменение наклона касательной.
• Для исследования выпуклости находят нули f'' и точки, где f'' не существует.
• Точку перегиба подтверждает смена направления выпуклости.
• Равенство f''(x) = 0 — условие для поиска кандидата, но не достаточное условие перегиба.
• Координаты точки перегиба находят подстановкой её абсциссы в исходную функцию.