"Алгебра и начала математического анализа", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Наибольшее и наименьшее значения функции помогают понять, каких предельных значений она достигает на заданном промежутке. Их находят, чтобы сравнить возможные результаты и решать задачи на оптимизацию: например, определить максимальную прибыль или минимальный расход. На отрезке непрерывная функция достигает обоих значений. Для поиска проверяют концы отрезка и внутренние критические точки, а затем вычисляют и сравнивают значения функции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Наибольшее значение функции на промежутке — значение, которое функция принимает на этом промежутке и которое не меньше всех остальных её значений. Обычно его обозначают как максимум функции на рассматриваемом промежутке. Чтобы найти это значение, выясняют, при каком аргументе функция достигает верхней границы своих значений.
Наименьшее значение функции на промежутке — значение, которое функция принимает на этом промежутке и которое не больше всех остальных её значений. Его называют минимумом функции на промежутке. Поиск минимума нужен, например, когда требуется определить наименьший расход или наименьшее расстояние.
Точка максимума функции — внутренняя точка области определения, в некоторой окрестности которой значение функции в этой точке не меньше соседних значений. Это аргумент, то есть конкретное значение x, а не значение y. Понятие помогает находить места локального подъёма графика, даже если на всём промежутке есть значения ещё выше.
Точка минимума функции — внутренняя точка области определения, в некоторой окрестности которой значение функции в этой точке не больше соседних значений. Она показывает, где график локально опускается ниже значений рядом. Чтобы указать сам минимум функции, нужно отдельно вычислить значение f(x) в точке минимума.
Наибольшее и наименьшее значения — это значения функции, а не аргументы, при которых они достигаются. Поэтому сначала находят подходящие точки x, а затем подставляют их в формулу и вычисляют f(x). Без последнего шага можно назвать точку максимума или минимума, но нельзя определить соответствующее значение функции.
На отрезке непрерывная функция достигает и наибольшего, и наименьшего значений. Это значит, что среди всех значений функции на отрезке действительно найдутся самое большое и самое маленькое. При поиске учитывают внутренние точки, но не забывают границы: наибольшее или наименьшее значение может достигаться именно на конце отрезка.
Внутри промежутка экстремум дифференцируемой функции может находиться там, где производная равна нулю. В такой точке график часто меняет направление движения, а горизонтальная касательная соответствует условию f′(x) = 0. Но производная может не существовать, например, в точке излома; такая точка тоже способна оказаться экстремумом, поэтому её включают в список кандидатов.
Знак производной показывает, возрастает функция или убывает. Если знак меняется с плюса на минус, функция сначала возрастает, а потом убывает, поэтому точка перехода является максимумом. При смене знака с минуса на плюс функция сначала убывает, а потом возрастает, значит, в этой точке минимум; если знак не меняется, экстремума может не быть.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке, вычисляют значения функции на концах и во всех внутренних критических точках. Критическими здесь называют точки, где производная равна нулю или не существует. Затем сравнивают полученные числа: наибольшее из них будет искомым максимумом на отрезке, а наименьшее — минимумом; предварительно проверяют, что функция определена в каждой точке-кандидате.
| Что рассматриваем | Где ищем | Как определяем |
|---|---|---|
| Точка максимума | Во внутренней точке области определения | Проверяем, что рядом значения функции не больше; смена f′ с плюса на минус указывает на максимум |
| Точка минимума | Во внутренней точке области определения | Проверяем, что рядом значения функции не меньше; смена f′ с минуса на плюс указывает на минимум |
| Наибольшее значение на отрезке | На концах отрезка и во внутренних критических точках | Вычисляем значения функции и выбираем самое большое |
| Наименьшее значение на отрезке | На концах отрезка и во внутренних критических точках | Вычисляем значения функции и выбираем самое маленькое |
Пользуйтесь таблицей, сначала уточнив, нужно ли найти локальную точку экстремума или абсолютное значение на всём отрезке. Для экстремума внутри области проверяют поведение функции рядом с точкой. Для значений на отрезке составляют полный список кандидатов, включая границы, и сравнивают вычисленные результаты.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x² − 4x на отрезке [0; 5]. Поскольку отрезок замкнут, нужно проверить оба конца и внутренние критические точки. Сравним значения функции во всех найденных кандидатах.
Наибольшее значение равно 5, наименьшее — −4. Первое достигается при x = 5, второе — при x = 2. Ответ: max f = 5, min f = −4.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ − 3x на отрезке [−2; 2]. Производная поможет определить внутренние точки-кандидаты, а значения на концах тоже войдут в сравнение. Учтём, что обе границы принадлежат отрезку.
Самое большое значение равно 2, оно достигается при x = −1 и x = 2. Самое маленькое значение равно −2, оно достигается при x = −2 и x = 1. Ответ: max f = 2, min f = −2.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x + 4/x на отрезке [1; 4]. Прежде чем дифференцировать, проверим область определения: x ≠ 0, поэтому всякий x от 1 до 4 допустим. Затем проверим внутреннюю критическую точку и оба конца.
Наибольшее значение равно 5 и достигается на обоих концах отрезка. Наименьшее значение равно 4 и достигается при x = 2. Ответ: max f = 5, min f = 4.
Проверяют только точки, где производная равна нулю, и забывают концы отрезка. Так поступают, потому что сосредотачиваются на производной и внутренних экстремумах, хотя граница тоже может дать нужное значение. Самопроверка: в списке кандидатов должны быть оба конца отрезка и все подходящие внутренние критические точки.
Точку максимума принимают за наибольшее значение функции. Путаница возникает потому, что оба понятия связаны с одним и тем же максимумом графика, но точка — это аргумент x, а значение — результат f(x). Проверьте ответ: если просят значение, к найденному x нужно подставить его в функцию.
Не проверяют точки, где производная не существует. Часто кажется, что критические точки возникают только из уравнения f′(x) = 0, но в точке излома функция тоже может изменить направление. Чтобы проверить себя, выясните, где производная не определена, и оставьте среди кандидатов такие точки, если они лежат внутри отрезка и входят в область определения.
Точку с f′(x) = 0 объявляют точкой экстремума без дополнительной проверки. Причина ошибки — неверное применение условия, которое выделяет кандидатов, но само по себе не доказывает максимум или минимум. Проверьте смену знака производной по сторонам точки либо сравните значения функции во всех кандидатах, если ищете экстремальные значения на отрезке.
Для поиска экстремумов нужны навыки дифференцирования, решения уравнений и неравенств, исследования знака выражения и определения области функции. Производная помогает составить список возможных точек, а область определения показывает, какие из них допустимы. Сравнение значений на отрезке опирается на знание о непрерывности функции.
Наибольшие и наименьшие значения применяют в задачах на оптимизацию, где нужно выбрать наиболее выгодный вариант по заданному условию. Они также используются при исследовании функций: помогают описать поведение графика и определить границы значений на промежутке. Поэтому важно не только находить кандидатов, но и обосновывать выбор наибольшего или наименьшего результата.
Чем наибольшее значение функции отличается от точки максимума?
Точка максимума — это значение аргумента x, в котором функция достигает локального максимума. Наибольшее значение — результат вычисления f(x) в такой точке или в другом месте отрезка. Например, если максимум достигается при x = 2 и f(2) = 5, то точка максимума — 2, а значение функции — 5.
Почему при поиске наибольшего значения на отрезке проверяют его концы?
На концах отрезка функция тоже может принимать наибольшее или наименьшее значение. Производная помогает найти внутренние кандидаты, но не показывает, какие значения функция принимает на границах промежутка. Поэтому значения на обоих концах обязательно сравнивают с остальными.
Может ли точка, где производная не существует, быть точкой экстремума?
Да. Например, у функции f(x) = |x| производная не существует при x = 0, но в этой точке находится минимум. Поэтому внутренние точки, где производная не существует, также проверяют.
Достаточно ли условия f′(x) = 0, чтобы доказать наличие экстремума?
Нет. Равенство f′(x) = 0 только указывает на возможную точку экстремума. Нужно исследовать знак производной по обе стороны от точки или сравнить значения функции в кандидатах на заданном отрезке.
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?
Найдите внутренние точки, где производная равна нулю или не существует, и проверьте, принадлежат ли они области определения. Вычислите значения функции в этих точках и на обоих концах отрезка. Сравните полученные числа: самое большое будет максимумом на отрезке, самое маленькое — минимумом.
§ 3. Наибольшее и наименьшее значения функции
