§ 2. Экстремумы функции

Определения и обозначения

Локальный максимум функции в точке x₀ — это значение f(x₀), которое не меньше значений функции во всех достаточно близких точках области определения. Иными словами, на небольшом участке графика точка находится не ниже соседних точек. Это определение позволяет находить вершины отдельных «холмов», даже если на всей области функция не имеет наибольшего значения.

Локальный минимум функции в точке x₀ — значение f(x₀), которое не больше значений функции во всех достаточно близких точках области определения. Рядом с такой точкой график не опускается ниже неё. Понятие нужно, чтобы выделять впадины графика и исследовать поведение функции около выбранного аргумента.

Экстремум функции — общее название локального максимума и локального минимума. Поэтому выражение «найти экстремумы» означает определить точки, где функция достигает одного из этих двух типов значений. Само значение экстремума — это f(x₀), а x₀ называют точкой экстремума.

Критическая точка — внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует. Такие точки важны потому, что в них функция может изменить направление движения. Однако критическая точка лишь предполагает возможность экстремума: окончательный вывод делают по знакам производной по обе стороны.

Как это устроено

Производная показывает скорость изменения функции и наклон её графика. Если f′(x) положительна на промежутке, при увеличении x значение функции увеличивается, поэтому функция возрастает. Если f′(x) отрицательна, значения уменьшаются, и функция убывает.

Предположим, слева от точки x₀ производная положительна, а справа отрицательна. Тогда до x₀ функция возрастает, а после x₀ убывает: сначала значения поднимаются, затем начинают снижаться. Поэтому в самой точке x₀ достигается локальный максимум.

Если слева от x₀ производная отрицательна, функция убывает, а справа производная положительна, функция начинает возрастать. Значения сначала уменьшаются до x₀, а затем увеличиваются. Следовательно, x₀ является точкой локального минимума.

Равенство f′(x₀) = 0 само по себе экстремума не гарантирует. Например, для f(x) = x³ производная 3x² равна нулю при x = 0, но по обе стороны от нуля остаётся положительной, поэтому функция продолжает возрастать. Значит, нужно проверять именно смену знака, а не только нулевое значение производной.

Поиск начинают с критических точек: решают уравнение f′(x) = 0 и отдельно находят точки, где производная не существует, если функция там определена. Затем эти точки разбивают область определения на промежутки и определяют знак производной на каждом из них. Сравнение знаков слева и справа позволяет установить максимум, минимум или отсутствие экстремума.

Признаки локального экстремума по знаку производной

В таблице указано, как переход знака производной связан с изменением функции. Сначала определите знак слева от критической точки, затем — справа. Если знаки совпали или один из них не исследован, делать вывод о локальном экстремуме нельзя.

Разбор задач

1. Найдите точки экстремума функции f(x) = x² − 4x + 1.

Сначала найдём критическую точку, а затем проверим, как ведёт себя производная по обе стороны. Это нужно, потому что одного решения уравнения f′(x) = 0 недостаточно.

1. f′(x) = 2x − 4, поэтому 2x − 4 = 0 и x = 2.
2. При x < 2 производная отрицательна, а при x > 2 положительна. Значит, функция убывает, затем возрастает.
3. Следовательно, x = 2 — точка локального минимума. f(2) = 4 − 8 + 1 = −3.

Ответ: точка минимума x = 2, минимум равен −3; локального максимума нет.

2. Найдите экстремумы функции f(x) = x³ − 3x² на всей числовой прямой.

Здесь две критические точки, поэтому область нужно разделить на три промежутка. Исследование каждого промежутка покажет, в какой из точек производная меняет знак.

1. f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2). Критические точки: x = 0 и x = 2.
2. На (−∞; 0) производная положительна, на (0; 2) отрицательна, на (2; +∞) положительна.
3. В точке 0 знак меняется с плюса на минус, значит, это максимум: f(0) = 0. В точке 2 знак меняется с минуса на плюс, значит, это минимум: f(2) = 8 − 12 = −4.

Ответ: локальный максимум 0 при x = 0; локальный минимум −4 при x = 2.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ − 3x на отрезке [−2; 2].

На замкнутом отрезке проверяют не только критические точки внутри, но и оба конца. После этого все полученные значения сравнивают между собой.

1. f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), поэтому внутренние критические точки: x = −1 и x = 1.
2. Вычислим значения: f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(2) = 2.
3. Наибольшее значение среди них равно 2 и достигается при x = −1 и x = 2. Наименьшее значение равно −2 и достигается при x = −2 и x = 1.

Ответ: наибольшее значение 2, наименьшее значение −2.

Типичные ошибки

Считать, что f′(x₀) = 0 автоматически означает экстремум. Производная может не менять знак, как у x³ в точке 0, поэтому функция продолжает возрастать. Проверьте знаки производной слева и справа.

Путать максимум или минимум со значением аргумента. Число x₀ — это точка экстремума, а экстремум функции равен f(x₀). Для проверки запишите оба результата: координату и значение функции.

Проверять знак производной только с одной стороны. Один знак показывает поведение лишь на одном промежутке и не говорит о смене направления. Составьте таблицу знаков для соседних промежутков.

Забывать концы отрезка. Наибольшее или наименьшее значение может находиться не в критической точке, а в конце области. При работе с [a; b] обязательно вычисляйте f(a) и f(b).

Связь с другими темами

До изучения экстремумов нужно уметь находить производную и решать уравнение f′(x) = 0. Также необходимы навыки работы с областью определения функции.

Тема опирается на связь знака производной с промежутками возрастания и убывания. Поэтому таблица знаков производной становится основным инструментом исследования.

Экстремумы помогают строить графики и решать задачи на наибольшее и наименьшее значения. На отрезке этот метод объединяется с проверкой концов промежутка.

Что запомнить

• Экстремум функции — локальный максимум или локальный минимум.
• Критические точки — кандидаты на точки экстремума, но не каждая из них является экстремумом.
• Смена знака производной с плюса на минус означает локальный максимум.
• Смена знака производной с минуса на плюс означает локальный минимум.
• Если знак производной при переходе через точку не меняется, экстремума в ней нет.
• На замкнутом отрезке наибольшее и наименьшее значения ищут среди значений в критических точках и на концах отрезка.