§ 1. Возрастание и убывание функции

Определения и обозначения

Функция f называется возрастающей на промежутке, если для любых x₁ и x₂ из этого промежутка из неравенства x₁ < x₂ следует неравенство f(x₁) < f(x₂). Иными словами, когда аргумент увеличивается, значение функции тоже увеличивается. Это определение позволяет проверять свойство строго: недостаточно увидеть, что несколько выбранных значений идут вверх.

Функция f называется убывающей на промежутке, если для любых x₁ и x₂ из него из x₁ < x₂ следует f(x₁) > f(x₂). Значит, большему аргументу соответствует меньшее значение функции. Определение нужно, чтобы отличать убывание на всём промежутке от случайного уменьшения между двумя точками.

Промежутком возрастания или убывания называют такой промежуток области определения, на котором функция обладает соответствующим свойством. Область определения — множество допустимых значений аргумента. Указание промежутка обязательно: одна функция на разных частях области определения может вести себя по-разному.

Как это устроено

В определении сравнивают не сами аргументы с их значениями, а две пары «аргумент — значение функции». Сначала располагают аргументы по порядку: x₁ < x₂, а затем проверяют, как расположены f(x₁) и f(x₂). Если порядок значений сохраняется, функция возрастает; если меняется на противоположный, она убывает. Такое сравнение описывает поведение функции целиком на промежутке, потому что условие должно выполняться для каждой пары его точек.

Свойство рассматривают именно на промежутке, поскольку функция может менять направление изменения. Например, график может сначала подниматься, достичь вершины, а затем опускаться. В таком случае нельзя назвать всю функцию возрастающей или убывающей: нужно отдельно указать участки. Границы промежутков выбирают так, чтобы на каждом из них направление изменения оставалось одним и тем же.

На графике возрастающая функция при движении слева направо идёт вверх, а убывающая — вниз. Это наглядный способ заметить возможные промежутки монотонности, где монотонность означает сохранение одного направления изменения. Но график даёт прежде всего представление: если требуется строгое доказательство, нужно опираться на определение или на изученные свойства функции. Особенно осторожно следует читать график, если он построен приблизительно.

Для проверки по определению выбирают два произвольных аргумента из заданного промежутка, предполагая, что x₁ < x₂. Затем подставляют их в формулу функции и преобразуют разность f(x₂) − f(x₁) или непосредственно сравнивают значения. Если разность всегда положительна, функция возрастает; если всегда отрицательна — убывает. Ключевое слово здесь — «всегда»: рассуждение должно учитывать любые допустимые x₁ и x₂.

Для линейной функции y = kx + b направление изменения зависит от коэффициента k. При увеличении x на положительную величину значение функции меняется на k, умноженное на это увеличение, поэтому при k > 0 оно растёт, а при k < 0 уменьшается. Если k = 0, значения не меняются, и функция постоянна. Этот простой пример показывает, как формула объясняет поведение графика.

Сравнение возрастания и убывания

Пользуйся таблицей как схемой проверки: сначала упорядочь аргументы, а потом установи порядок соответствующих значений функции. Направление графика помогает запомнить результат, но не заменяет определение. Постоянная функция вынесена отдельно: она не возрастает и не убывает в строгом смысле, поскольку её значения равны.

Разбор задач

Задача. Определить промежутки возрастания и убывания функции f(x) = (x − 2)²

Квадрат числа зависит от расстояния до нуля, поэтому сначала удобно представить формулу как график параболы с вершиной при x = 2. Чтобы обосновать ответ, сравним значения функции для произвольных аргументов. Само расположение вершины подсказывает, где искать участки, но проверка покажет, почему направление изменения именно такое.

1. Рассмотрим промежуток x ≤ 2 и возьмём любые x₁ и x₂ из него, для которых x₁ < x₂. Тогда числа 2 − x₁ и 2 − x₂ неотрицательны, причём 2 − x₁ > 2 − x₂. При возведении этих неотрицательных чисел в квадрат порядок сохраняется, поэтому (x₁ − 2)² > (x₂ − 2)².

2. Получили f(x₁) > f(x₂), хотя x₁ < x₂. По определению это означает, что функция убывает на промежутке (−∞; 2]. Чем ближе x к 2 слева, тем меньше расстояние x − 2 и тем меньше квадрат этого расстояния.

3. Теперь рассмотрим промежуток x ≥ 2 и возьмём x₁ < x₂ из него. Тогда 0 ≤ x₁ − 2 < x₂ − 2, поэтому (x₁ − 2)² < (x₂ − 2)². Следовательно, функция возрастает на промежутке [2; +∞).

Ответ: функция убывает на (−∞; 2] и возрастает на [2; +∞). В точке x = 2 она принимает наименьшее значение 0, поскольку квадрат любого числа неотрицателен. Разделить область определения в этой точке необходимо: по разные стороны от вершины направление изменения противоположно.

Типичные ошибки

• Путают порядок аргументов и значений. Иногда из x₁ < x₂ ошибочно делают вывод, что f(x₁) < f(x₂) для любой функции. Это верно только для возрастающей функции, а для убывающей знак сравнения противоположен. Проверь себя, записав рядом два условия из определения и не меняя в них местами аргументы.

• Судят о функции по нескольким точкам. Несколько вычислений могут показать предполагаемое направление, но не доказывают его для всех аргументов промежутка. Такую ошибку допускают, когда принимают примеры за обоснование общего правила. Для проверки попробуй взять произвольные x₁ и x₂, а не только удобные числа.

• Не указывают промежуток или включают точку смены направления без проверки. Из-за этого свойства разных частей графика смешиваются, хотя функция может сначала убывать, а затем возрастать. Нужно учитывать область определения и отдельно проверять поведение на каждом участке. В конце сравни выбранные границы с точками, где формула не определена или где график меняет направление.

Связь с другими темами

Возрастание и убывание связывают формулу функции с поведением её графика: по свойству можно описать участки, не перечисляя значения в каждой точке. Эти понятия нужны при исследовании функций и поиске их наибольших и наименьших значений на промежутке. Позже направление изменения можно устанавливать с помощью производной: её знак помогает определить промежутки монотонности. При этом определение через сравнение f(x₁) и f(x₂) остаётся основой понятия.

Что запомнить

• Для возрастания из x₁ < x₂ должно следовать f(x₁) < f(x₂).

• Для убывания из x₁ < x₂ должно следовать f(x₁) > f(x₂).

• Свойства возрастания и убывания указывают вместе с промежутком.

• График читают слева направо; строгий вывод подтверждают определением или обоснованным свойством.